Problemi che conducono al calcolo dei Limiti.

dati:

• $ \overline{AC} = a$
• $ \widehat{ACB} = 135° $
• $ \overline{PC} = x$

Calcoliamo il segmento $ \overline{AP} $  usando il teorema del coseno.

$ \overline AP^2 = a^2+ x^2 - 2axcos(135°) = a^2+x^2+a\sqrt{2}x $

$ \overline AP = \sqrt{a^2+x^2+a\sqrt{2}x} $

Passiamo al limite

$ \displaystyle\lim_{x \to 0} \frac{\overline{AP} - \overline{AC}}{\overline{PC}} = $

$ \displaystyle\lim_{x \to 0} \frac{\sqrt{a^2+x^2+a\sqrt{2}x} - a}{x} = $  

Forma indeterminata del tipo 0/0. Razionalizziamo con il termine $(\sqrt{a^2+x^2+a\sqrt{2}x} + a)$

$ \displaystyle\lim_{x \to 0} \frac{x^2+a\sqrt{2}x}{x(\sqrt{a^2+x^2+a\sqrt{2}x} + a)} = $

$ \displaystyle\lim_{x \to 0} \frac{x+a\sqrt{2}}{\sqrt{a^2+x^2+a\sqrt{2}x} + a} = \frac{a\sqrt{2}}{a\cdot 2} = \frac{\sqrt{2}}{2}$