[Risolto] Problemi algebrici geometria 2

Rombo:

diagonale minore $d= x$;

diagonale maggiore $D= x+62$;

lato $l= \frac{164}{4} = 41~cm$;

usando il teorema di Pitagora, applicato al triangolo rettangolo i cui cateti sono le semi-diagonali mentre l'ipotenusa è il lato del rombo, imposta la seguente equazione:

$\big(\frac{x}{2}\big)^2+\big(\frac{x+62}{2}\big)^2 = 41^2$

$\frac{x^2}{4}+\frac{x^2+124x+3844}{4} = 1681$ moltiplica tutto per 4:

$x^2 +x^2+124x+3844 = 6724$

$2x^2 +124x = 6724-3844$

$2x^2 +124x = 2880$ dividi tutto per 2:

$x^2 +62x = 1440$ eguaglia a zero:

$x^2 +62x -1440 = 0$ equazione di secondo grado completa quindi applica la formula risolutiva con i seguenti dati:

$a= 1$;

$b= 62$;

$c= -1440$;

$∆= b^2-4ac = 62^2-(4*1*-1440) = 3844-(-5760) = 3844+5760 = 9604$;

$x_{1,2} = \frac{-b±\sqrt{∆}}{2*a}= \frac{-62±\sqrt{9604}}{2*1} = \frac{-62±98}{2}$

quindi:

$x_1= \frac{-62-98}{2} = \frac{-160}{2} = -80$;

$x_2= \frac{-62+98}{2} = \frac{36}{2} = 18$;

prendiamo il valore positivo, la misura di una diagonale non può essere negativa, e così risulta:

diagonale minore $d= x= 18~cm$;

diagonale maggiore $D= x+62= 18+62 = 80~cm$;

infine:

area del rombo $A= \frac{D*d}{2} = \frac{80*18}{2} = 720~cm^2$.

lato = perim./4 = 164/4 = 41 cm 

chiamata D la diagonale maggiore :

41^2 = ((D/2)^2+(D/2-31)^2

1681 = D^2/4+D^2/4+961-31D 

1681*4 = 2D^2+961*4-124D

2D^2-124D-720*4 = 0

D^2-62D+1440 = 0

D = (62+√62^2+1440*4)^0,5)/2 = 80,0 cm

d = 80-62 = 18 cm 

area A = d*D/2 = 18*40 = 800-80 = 720 cm^2