[Risolto] Problemi

1) In un triangolo rettangolo ABC, il cateto AC è lungo 10 cm e il cateto AB è lungo 5 cm. Determina il perimetro e l’area del triangolo e l’ampiezza degli angoli acuti.

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Ipotenusa $ip= \sqrt{(AC)^2+(AB)^2} = \sqrt{10^2+5^2} = 5\sqrt5\,cm\;(\approx{11,18}\,cm);$

perimetro $2p= 10+5+5\sqrt5 = 15+5\sqrt5\,cm\;(\approx{26,18}\,cm);$

area $A= \dfrac{AC×AB}{2} = \dfrac{10×5}{2} = 25\,cm^2;$

angolo acuto maggiore:

$\alpha= sen^{-1}\left(\dfrac{AC}{BC}\right) =  sen^{-1}\left(\dfrac{10}{5\sqrt5}\right)  \approx{63,435°};$ $^{(1)}$

angolo acuto minore:

$\beta= sen^{-1}\left(\dfrac{AB}{BC}\right) = sen^{-1}\left(\dfrac{\cancel5^1}{\cancel5_1\sqrt5}\right) = sen^{-1}\left(\dfrac{1}{\sqrt5}\right)  \approx{26,565°};$

La somma dei due angoli acuti nel triangolo rettangolo, essendo complementari, è $=90°,$ quindi per verifica: $\alpha+\beta = 63,435+26,565 = 90°, $ appunto.

Note:

- $^{(1)}: sen^{-1}= arcsen.$ 

'1) In un triangolo rettangolo ABC, il cateto AC è lungo 10 cm e il cateto AB è lungo 5 cm.
'Determina il perimetro e l’area del triangolo e l’ampiezza degli angoli acuti

C1=10 cm 'cateto AC
C2=5 cm 'cateto AB

'Con Pitagora calcoliamo l'ipotenusa
Ip=Sqrt(C1^2+C2^2) = 11.180339887 cm = 11.18 cm circa

'Calcoliamo il perimetro e poi l'area
Perim=C1+C2+Ip = 26.18 cm
Area=C1*C2/2 = 25 cm²

2) In una circonferenza di raggio r e centro O, una corda AB è sottesa da un angolo alfa tale che sin alfa=5/6. Determina la misura della corda.

alfa=ArcSin(5/6) = 56.442690238 = 56.44° circa

alfa = 56°+0,44° = '56° (0,44°*60)' = 56° 26,4' = '56° 26' (0,4°*60)'' = 56° 26' 24''

Enunciato del Teorema della Corda: In una circonferenza, la misura di una corda è data dal prodotto della misura del diametro per il seno di un qualsiasi angolo alla circonferenza che insiste sulla corda.

Considerando ora che l'angolo alla circonferenza è la metà dell'angolo al centro che insiste sullo stesso arco, abbiamo che l'angolo alla circonferenza che insiste su AB è alfa/2 e cioè:
alfa/2 = 56.44°/2 = 28,22° il cui sin(alfa/2) = sin(28,22°) = 0,47

Calcoliamo ora la lunghezza della corda AB = 2*r*sin(alfa/2)

AB = 2*r*0,47 = 0,94*r

ipotenusa = radicequadrata(10^2 + 5^2) = radice(125);

ipotenusa = radice(5^2 * 5) = 5 * radice(5);

sen(β) = b/a;

sen(β) = 5 / [5(radice5)] = 1/radice(5);

sen(β) = radice(5) / 5;

β = arcsen[radice(5) / 5] = 26,6°;

β + γ = 90°;

γ = 90° - 26,6° = 63,4°;

in un triangolo rettangolo gli angoli acuti sono complementari .

2) senα = 5/6 , (α = angolo al centro);

α = arcsen(5/6) = 56,44°;

α/2 = 56,44° / 2 = 28,22°;

metà corda AH = r * sen(α/2);

Corda AB= 2 * r * sen(α/2);

AB = 2 * r * sen(28,22°) = 2 * 0,473 * r,

AB = 0,946 r.

Ciao  @carl74