[Risolto] Problema vettori 1 superiore

Simona passeggia nel bosco in direzione Nord per 500 m, poi in direzione Ovest per 1.500m e infine in direzione Nord-Est per 1.200m.

a) Qual è il minimo percorso che può fare Simona per tornare al punto di partenza? (1498 m)

b) in quale direzione? (Sud 26 gradi Est)

1200/√2 = 848,5 m 

spostamento Sy = 500+848,5 = 1.348,5 m 

spostamento Sx = -1500+848,5 = -651,5 m 

spostamento S = √1348,5^2+651,5^2 = 1.497,6 m 

angolo = 90°+arctan Sx/Sy = 90°+arctan (651,5/1.348,5) = 115,78° rispetto a +X, vale a dire 25,78° Ovest  rispetto a Nord , oppure 25,78° Est rispetto a Sud  

Simona passeggia nel bosco in direzione nord per 500 m poi in direzione ovest per 1500 m e infine in direzione nord-est per 1200 m.

a) Qual è il minimo percorso che può fare Simona per tornare al punto di partenza?

b) in quale direzione?

A.1498 m

B. Sud 26 gradi est 

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Posizione $x$ finale $= -1500+\frac{1200}{\sqrt2} ≅ -651,472~m$;

posizione $y$ finale $= 500+\frac{1200}{\sqrt2} ≅ 1348,528~m$;

percorso più breve per ritornare al punto di partenza:

$= \sqrt{\big|1348,528^2+(-651,472)^2\big|} ≅1497,646~m$ appross. a $≅1498~m$;

direzione $= \bigg|tan^{-1}\bigg(\dfrac{-651,472}{1348,528}\bigg)\bigg| ≅ 25,785°$ appross. a $≅ 26°~S-E$.

Non potendo esistere più di un punto cardinale con lo stesso nome, quei nomi sono proprii e si DEVONO scrivere con l'iniziale maiuscola; senza eccezioni.
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Si instaura nel bosco un riferimento ortogonale Oxy, monometrico in metri, con: l'origine O(0, 0) nel punto di partenza; l'asse x orientato da Ovest verso Est; l'asse y orientato da Sud verso Nord.
In tale riferimento il vettore P del Primo spostamento di Simona ha componenti P(0, 500), quello del Secondo è S(- 1500, 0), quello del Terzo ... beh, serve ragionarci perché il modulo non giace su una direzione coordinata.
La "direzione Nord-Est" cade nel primo quadrante, con un'anomalia di 45° e col verso che s'allontana dall'origine perciò lo spostamento di 1200 m è la diagonale di un quadrato col lato L = 1200/√2 e il vettore T del Terzo spostamento risulta T(1200/√2, 1200/√2).
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Sommando per componenti si ha lo spostamento Complessivo
* C = P + S + T = (0, 500) + (- 1500, 0) + (1200/√2, 1200/√2) =
= C(300*(2*√2 - 5), 100*(6*√2 + 5))
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Il minimo percorso che può fare Simona per tornare al punto di partenza è la lunghezza |R| dello spostamento di Ritorno, opposto a C
* R = - C = (- 300*(2*√2 - 5), - 100*(6*√2 + 5)) ~= (651.47, - 1348.528)
con
* modulo |R| = √((- 300*(2*√2 - 5))^2 + (- 100*(6*√2 + 5))^2) =
= √(90000*(33 - 20*√2) + 10000*(97 + 60*√2)) =
= 100*√(2*(197 - 60*√2)) ~= 1497.646
* anomalia θ = arctg((- 100*(6*√2 + 5))/(- 300*(2*√2 - 5))) =
= arctg(- (49 + 40*√2)/51) ~=
~= arctg(- 2.06997) ~= - 1.12 rad ~= - 64° 13'
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Pertanto il risultato atteso è ben approssimato sia al metro per quanto riguarda il modulo (100*√(2*(197 - 60*√2)) ~= 1498) che, con qualche riserva, anche al grado per l'anomalia (π/2 + arctg(- (49 + 40*√2)/51) ~= 25° 47').