Il gestore di una discoteca, prima di aprire al pubblico il proprio locale, vuole assicurarsi che siano rispettate tutte le norme che impongono limiti alle emissioni sonore, per evitare danni all'udito del pubblico. Infatti, sulla base della Legge quadro sull'inquinamento acustico (L. n. 447/95), è stato emanato il DPCM n. 215/1999 secondo il quale la musica non può superare i $102 dB$ e, nell'arco dell'intero orario di apertura, il valore medio non può superare i $95 dB$. Il decibel (dB) è l'unità di misura del livello di intensità sonora, indicato con la lettera greca $\beta$. Uno strumento chiamato fonometro, opportunamente tarato, permette di misurare l'intensità del suono $I$. espressa in $W / m^2$, e il suo livello è $\beta$.
a. Con la musica spenta, lo strumento registra $\beta=0$ e $I_0=10^{-12} W / m ^2$; si può osservare inoltre che, ogni volta si somma 10 al valore di $\beta$, il valore di I risulta moltiplicato per 10 . Dunque, l' espressione che fornisce $\beta$ in funzione di $/$ è $\beta=10 \log _{10} \frac{I}{I_0}$. Quale deve essere il valore massimo di $/$ affinché sia rispettata la normativa vigente?
b. In un breve intervallo di tempo dopo l'accensione dell'impianto acustico della discoteca, l'intensità sonora può essere descritta dalla legge: $I=\frac{4^t-2^{t+3}+16}{100 \sqrt{10}}$ dove $t$ è il tempo. Calcola in quali istanti $\beta$ raggiunge il valore medio consentito di $95 dB$.
c. Con una cassa di $100 W$, a quale distanza deve ballare una persona perché percepisca il livello massimo consentito di $102 dB$ ?
d. Di quanto diminuisce il livello di intensità $\beta$ quando triplica la distanza rispetto alla sorgente sonora?
