Problema trigonometrico

Th seni

{η/SIN(x) = μ/SIN(pi/6)

{(η + ρ)/SIN(2/3·pi) = 2·a/SIN(pi/6)

{μ/SIN(pi/6) = ρ/SIN(2/3·pi - x)

(con riferimento ai due triangoli interni ed al triangolo completo)

{η/SIN(x) = 2·μ

{2·√3·η/3 + 2·√3·ρ/3 = 4·a

{2·μ = ρ/SIN(x + pi/3)

Risolvo:

[η = 2·√3·a - 2·a·SIN(x + pi/3)/SIN(x + pi/6)

∧

μ = a/SIN(x + pi/6)

∧

ρ = 2·a·SIN(x + pi/3)/SIN(x + pi/6)]

In base al testo si deve scrivere:

2·√3·a - 2·a·SIN(x + pi/3)/SIN(x + pi/6) + a/SIN(x + pi/6) =

=2·a·SIN(x + pi/3)/SIN(x + pi/6)

semplifico:

2·√3 + 1/SIN(x + pi/6) = 4·SIN(x + pi/3)/SIN(x + pi/6)

4·SIN(x + pi/3) - 2·√3·SIN(x + pi/6) = 1

SIN(x + pi/3) = SIN(x)·COS(pi/3) + SIN(pi/3)·COS(x)=

=√3·COS(x)/2 + SIN(x)/2

SIN(x + pi/6) = SIN(x)·COS(pi/6) + SIN(pi/6)·COS(x)=

=COS(x)/2 + √3·SIN(x)/2

quindi:

4·(√3·COS(x)/2 + SIN(x)/2) - 2·√3·(COS(x)/2 + √3·SIN(x)/2) = 1

(2·√3·COS(x) + 2·SIN(x)) - (√3·COS(x) + 3·SIN(x)) = 1

√3·COS(x) - SIN(x) = 1

Risolvo (metodo angolo aggiunto)

Α·SIN(x + φ) = Α·(SIN(x)·COS(φ) + SIN(φ)·COS(x))

{Α·SIN(φ) = √3

{Α·COS(φ) = -1

TAN(φ) = - √3---> φ = - pi/3

{Α·SIN(- pi/3) = √3---> Α = -2

{Α·COS(- pi/3) = -1--->  Α = -2

- 2·SIN(x - pi/3) = 1

SIN(α) = - 1/2--- >α = - 5·pi/6 ∨ α = - pi/6

x - pi/3 = - 5·pi/6 ∨ x - pi/3 = - pi/6

x = pi/6 ∨ x = - pi/2

In grassetto la soluzione. Verificato con WOLFRAMALPHA: