problema trigonometria il 1083

ΟΗ = COS(x)

ΡΗ = SIN(x)

ΡΙ = SIN(pi/3 - x)

ΟΙ = COS(pi/3 - x)

Calcoliamo gli ultimi due lati

SIN(pi/3 - x) = SIN(pi/3)·COS(x) - SIN(x)·COS(pi/3)=

=√3·COS(x)/2 - SIN(x)/2

COS(pi/3 - x) = COS(pi/3)·COS(x) + SIN(pi/3)·SIN(x)=

=COS(x)/2 + √3·SIN(x)/2

Poniamo:

COS(x) = Χ

SIN(x) = Υ

Risolviamo:

Χ + Υ + (√3·Χ/2 - Υ/2) + (Χ/2 + √3·Υ/2) = (2 + √3)/√2

Quindi il sistema:

{Υ·(√3/2 + 1/2) + Χ·(√3/2 + 3/2) = (2 + √3)/√2

{Υ^2 + Χ^2 = 1

ottenendo: 

[Υ = √2/2 ∧ Χ = √2/2, Υ = √6/4 - √2/4 ∧ Χ = √6/4 + √2/4]

Da cui:

{SIN(x°) = √2/2

{COS(x°) = √2/2

quindi: [x° = 45°]

{SIN(x°) = (√6 - √2)/4

{COS(x°) = (√6 + √2)/4

quindi: [x° = 15°]

ecco la prima parte: (per sommare i seni ho usato inizialmente il metodo dell'angolo aggiunto, poi prostaferesi)

per la seconda parte credo bisogni svolgere il sistema parametrico con l'equazione della circonferenza goniometrica.