[Da risolvere solo con formule di trigonometria e senza calcolatrice]
Nel triangolo ABC è AB = 2, angolo AĆB = pi/4, angolo BÁC = x. Per quale valore di x è massima la misura della mediana CM?
[Risultati nell’immagine allegata]
[Da risolvere solo con formule di trigonometria e senza calcolatrice]
Nel triangolo ABC è AB = 2, angolo AĆB = pi/4, angolo BÁC = x. Per quale valore di x è massima la misura della mediana CM?
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Livello 1
Disegnato il triangolo ABC, per il teorema dei seni risulta
AC/sin (3/4 pi - x) = AB/sin C^ perché B = pi - pi/4 - x = 3/4 pi - x
AC = 2/sin(pi/4) * sin (3pi/4 - x) = 2/sin (pi/4) * (sin 3/4 pi cos x - cos 3/4 pi sin x) =
= 2 : rad(2)/2 * (rad(2)/2 cos x + rad(2)/2 sin x) =
= 2 (sin x + cos x).
Per il Teorema di Carnot su ACM
CM^2 = AM^2 + AC^2 - 2 AM AC cos x =
= 1^2 + 4 (sin x + cos x)^2 - 2*1*2 (sin x + cos x)*cos x =
= 1 + 4 sin^2(x) + 4 cos^2(x) + 8 sin x cos x - 4 sin x cos x - 4 cos^2(x) =
= 1 + 4 sin^2(x) + 4 sin x cos x =
< formule di duplicazione >
= 1 + 4 * (1 - cos(2x))/2 + 2 sin 2x =
= 1 + 2 + 2 sin 2x - 2 cos 2x =
< angolo aggiunto >
= 3 + 2 rad(2) * (cos pi/4 sin 2x - cos pi/4 sin 2x) =
= 3 + 2 rad(2) sin (2x - pi/4)
e, per 3/4 pi - x > 0 => 0 < x < 3/4 pi
l'espressione di CM^2 é massima quando
sin (2x - pi/4) = 1
2x = pi/4 + pi/2
x = 1/2 * 3/4 pi
x = 3/8 pi
ovvero proprio al centro dell'intervallo.
47868
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Livello 7
@eidosm grazie mille, chiarissimo!
Se ti va potresti dare un’occhiata a un dubbio che avevo guardando la soluzione di un vecchio post di un esercizio simile di trigonometria?
Qui il link:
Hai visto se c'é una indicazione o limitazione per escludere una radice ?
Potrebbe aver sbagliato un segno il testo e ha pensato di poterla accettare.
Ho risolto la stessa equazione con un altro metodo ( riconducendola ad omogenea )
e mi vengono gli stessi risultati.