Salve! Mi servirebbe una mano per cercare di risolvere questo problema:
Nel triangolo ABC, isoscele sulla base AB, siano CH l'altezza relativa ad AB e P, Q, rispettivamente, le proiezioni di H sul lato AC e sul lato BC. Sapendo che AB=2a, determina la misura degli angoli alla base in modo che CH=2PQ.
Grazie in anticipo
8
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Livello 0
Ciao e benvenuto.
Con riferimento alla figura allegata:
AH = a ; α = β = γ sono uguali per costruzione ed appartengono ai triangoli rettangoli:
CHA; PFH; CPF
con riferimento a questi 3 triangoli rettangoli possiamo dire che:
TAN(α)=CH/AH ; TAN(β) = PF/FH ; TAN(γ)= CF/PF
Bisogna determinare α in modo che sia :
CH= CF+FH=2*PQ=4*PF (si sfrutta la simmetria del triangolo isoscele)
Si tratterà quindi di scrivere:
CH=AH*TAN(α)=a·TAN(α)
CF = PF*TAN(γ)=PF*TAN(α)
FH = PF/TAN(β) =PF/TAN(α)
--------------------------------
CH=PF*TAN(α)+PF/TAN(α) =4*PF
dividendo per PF, dovremo risolvere l'equazione goniometrica:
TAN(α)+1/TAN(α) =4
e ricavarci quindi α
Quindi posto: TAN(α) = μ
μ + 1/μ = 4----> μ ≠ 0-----> μ^2 - 4·μ + 1 = 0 risolvo:
μ = 2 - √3 ∨ μ = √3 + 2 ossia
TAN(α) = 2 - √3------> α = pi/12 in gradi: α = 15°
oppure
TAN(α) = 2 + √3-----> α = 5·pi/12 in gradi: α = 75°
100784
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Genius III
..
@lucianop non ho capito perché alfa=beta=gamma.me lo potrebbe spiegare ?grazie
α = β perché il triangolo ABC è isoscele (adiacenti base AB)
Gli angoli segnati in verde di figura sono congruenti per costruzione (osserva che hai triangoli rettangoli simili: AHP; PFH; PFC quindi γ sarà congruente con i primi due detti sopra)
Indichiamo con x=angoli alla base del triangolo isoscele ABC
L'angolo
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Genius II
scusami...
<
Facendo il minimo comune multiplo e liberando a denominatore
<
... avrei scritto "moltiplicando ambo i membri per (1+y²) diverso da zero"
come detta il 2° principio di equiv. {tralasciando i , lo so li usan tutti (!), rif. a mcm e a "liberare"} ...
... ovv. son pareri.
Ciao nik,
