è data la semicirconferenza di diametro AB = 2 e centro O. Nel triangolo ABC in essa inscritto poni BAC (c’è questo ^ sopra A) = X. Sulla semiretta OC considera il punto P tale che OC = CP. a. Verifica che PA^2 +PB^2= 10. B) Risolvi nei limiti geometrici imposti la seguente disequazione: PA^2 / PB^2 >= 7/3.
C) Se fosse stata un’equazionePA^2 / PB^2 = 10 e d= 2r quale sarebbe il risultato.
Non so come si risolva il punto B e C e come si trovano in generale i limiti geometrici.
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Livello 0
Fissato un sistema di riferimento cartesiano Oxy, si ha:
A = (-1, 0)
B = (+1, 0)
C = (cos(2x), sin(2x))
P = (2·cos(2x), 2·sin(2x))
e affinché C appartenga alla semicirconferenza OAB:
0 ≤ x ≤ π/2.
Assodato ciò, si ha:
|P - A|² = (2·cos(2x) - (-1))² + (2·sin(2x) - 0)² = 5 + 4·cos(2x)
|P - B|² = (2·cos(2x) - (+1))² + (2·sin(2x) - 0)² = 5 - 4·cos(2x)
quindi, banalmente:
|P - A|² + |P - B|² = 10
per ogni scelta di 0 ≤ x ≤ π/2.
Poi è richiesta la risoluzione della disequazione:
|P - A|² / |P - B|² ≥ 7/3
ossia:
(5 + 4·cos(2x)) / (5 - 4·cos(2x)) ≥ 7/3
ossia:
(5 - 10·cos(2x)) / (5 - 4·cos(2x)) ≤ 0
che risolta tenendo conto di 0 ≤ x ≤ π/2 porta a:
0 ≤ x ≤ π/6.
Infine, è richiesta la risoluzione dell'equazione:
|P - A|² / |P - B|² = 10
ossia:
(5 + 4·cos(2x)) / (5 - 4·cos(2x)) = 10
ossia:
(45 - 44·cos(2x)) / (5 - 4·cos(2x)) = 0
che è impossibile per ogni scelta di 0 ≤ x ≤ π/2.
Tale conclusione rimane immutata anche considerando un generico raggio r > 0, in quanto nel rapporto iniziale sarebbe immediatamente semplificato.
Ciao!
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Livello 1
@droppare ho una domanda abbastanza ingenua diciamo. Perché le coordinate di C sono cos2x e sin2x
Fissato un sistema di riferimento cartesiano Oxy, la semicirconferenza in questione ha equazione cartesiana x² + y² = 1, a patto che y ≥ 0 (perlomeno se la consideriamo nel semipiano delle y positive). Pertanto, ogni suo punto avrà coordinate (cos(θ), sin(θ)) con 0 ≤ θ ≤ π.
Nello specifico, dopo aver disegnato quanto indicato nel testo del problema, ci si accorge che il triangolo AOC è isoscele su base AC, quindi se l'angolo OAC è uguale ad x, anche l'angolo ACO è uguale ad x e quindi l'angolo AOC è uguale a π-2x. Quindi, ne consegue che l'angolo BOC sia uguale a 2x, che è esattamente quanto ci serviva: θ=2x, da cui 0 ≤ x ≤ π/2.
@droppare adesso ho capito. Ti ringrazio
@zonar Prego!
