Inscrivi un triangolo ABC in una semicirconferenza di centro O e diametro AB = 4a, in modo che l'angolo in B risulti maggiore dell'angolo in A. Da O conduci la perpendicolare al diametro che incontra AC in H. Determina l'angolo B in modo che il rettangolo di base OH e altezza AC abbia area 4a?. [60°)
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Livello 0
Il triangolo ABC inscritto nella semicirconferenza di diametro AB è un triangolo rettangolo di ipotenusa AB e cateti AC e BC
Con le solite convenzioni per gli angoli interni chiamiamo con α e β gli angoli adiacenti alla base AB.
AC= 4·a·SIN(β)
quindi:
ΟΗ/ΟΑ = TAN(α)-----> (ΟΑ = 2·a = raggio)---> ΟΗ = 2·a·TAN(α)
Quindi, in base al testo, si deve avere: ΟΗ·AC = 4·a^2
quindi:
2·a·TAN(α)·4·a·SIN(β) = 4·a^2
(2·a·TAN(α)·4·a·SIN(β) = 4·a^2)/(4·a^2)
2·TAN(α)·SIN(β) = 1
2·TAN(pi/2 - β)·SIN(β) = 1
2·COT(β)·SIN(β) = 1
2·COS(β) = 1----> COS(β) = 1/2----> β = pi/3 =60°
dovendo essere: 0 < β < pi/2
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Genius II
