problema trigonometría 178

Del poligono ACPB sappiamo già che:

$ AB = 2r$

$ AC = r$

Il triangolo APB è rettangolo in P perché inscritto in una semicirconferenza. Possiamo dunque dire che: 

$ PB = AB sinx = 2r sinx$

$ AP = ABcosx = 2r cosx$

L'angolo $CAO=60°$ perché essendo $AC=CO=OA=r$ il triangolo è equilatero.

Dunque l'angolo $CAP = 60-x$ per differenza.

Notiamo inoltre che l'angolo $CPA$ è un angolo alla circonferenza che insiste sull'arco $CA$. Essendo $COA=60°$ l'angolo al centro corrispondente, possiamo concludere che $CPA = 30$.

Per il teorema dei seni abbiamo dunque che nel triangolo ACP:

$ \frac{CP}{sin(CAP)} = \frac{CA}{sin(CPA)}$

da cui:

$ CP = \frac{r}{sin30} sin(60-x) = 2r (sin60cosx - cos60sinx) = r\sqrt{3}cosx - rsinx$

Chiediamo ora che il perimetro sia 5r:

$ p = AB+BP+PC+CA$

$ 5r = 2r + 2rsinx + r\sqrt{3}cosx - rsinx + r$

Dividendo tutto per r e risistemando:

$ 5 = 2+2sinx+\sqrt{3}cosx - sinx +1$

$ sinx + \sqrt{3}cosx -2 = 0$

Risolvendo l'equazione lineare si ricava che:

$ x = \pi/6 = 30$

Per tale valore otteniamo un trapezio isoscele, pertanto:

$ A = (AB+PC)*h/2$

L'altezza è

$ h = AC sin60 = r \sqrt{3}/{2}$

inoltre

$CP = r\sqrt{3}cos30 - rsin30 = 3/2r - 1/2r = r$

dunque:

$ A = (2r+r) *r \sqrt{3}/{2} * 1/2 = 3/4 r \sqrt{3}$

Noemi