Data una semicirconferenza di diametro $\overline{A B}=2 r$, considerare su di essa un punto $Q$ tale che $Q \hat{A B}=x$. Condotta da $Q$ la tangente $t$ alla semicirconferenza e indicate con $A^{\prime} e B^{\prime}$ le proiezioni di $A$ e $B$ sulla retta t, determinare $x$ in modo tale che sia verificata la relazione $\overline{A A^{\prime}}+9 \overline{B B^{\prime}}=2 \sqrt{3} \cdot \overline{A^{\prime} B^{\prime}}$.
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Livello 1
Potete aiutarmi a risolvere il problema per favore?
Grazie in anticipo
Puoi controllare se i miei risultati sono giusti? Ciao.
Ciao. Intanto ti mando questa parte. Poi continuerò in giornata.
Teorema della corda:
“stabilisce che la lunghezza di una corda di una circonferenza di raggio r è data dal doppio prodotto del raggio per il seno di uno degli angoli alla circonferenza che insistono sulla corda stessa”
AQ=2·r·SIN(pi/2 - x) = η ; BQ=2·r·SIN(x) = μ
Quindi:
AA’=2·r·SIN(pi/2 - x)·COS(x) = 2·r·COS(x)^2
BB’=2·r·SIN(x)·SIN(x) = 2·r·SIN(x)^2
A’B’=2·r·SIN(pi/2 - x)·SIN(x) + 2·r·SIN(x)·COS(x) = 4·r·SIN(x)·COS(x)
Continuo:
2·r·COS(x)^2 + 9·(2·r·SIN(x)^2) = 2·√3·(4·r·SIN(x)·COS(x))
16·r·SIN(x)^2 + 2·r = 8·√3·r·SIN(x)·COS(x)
8·SIN(x)^2 + 1 = 4·√3·SIN(x)·COS(x)
Riscrivo:
8·SIN(α)^2 + 1 = 4·√3·SIN(α)·COS(α)
pongo:
SIN(α) = Υ
COS(α) = Χ
Facendo riferimento alla circonferenza goniometrica posso scrivere:
{8·Υ^2 + 1 = 4·√3·Χ·Υ
{8·Υ^2 + 1 = 4·√3·Χ·Υ
che porta alla soluzione:
Υ = 1/2 ∧ Χ = √3/2 ; Υ = √7/14 ∧ Χ = 3·√21/14
che dovrebbero andare bene tutte e due.
{SIN(α) = 1/2
{COS(α) = √3/2
α = pi/6
L'altra fornisce: α = ATAN(√3/9)
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