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[Risolto] Problema triangolo scaleno n. 370

  

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Con riferimento alla figura, sapendo che $\overline{A B}^2+\overline{C B}^2=128+32 \sqrt{3}$, trova il perimetro di $A B C$
$$
[4(3+\sqrt{2}+\sqrt{3})]
$$

 

Buona sera a tutti gli utenti; vado a pubblicare il problema n. 370 riguardante un triangolo scaleno con gli angoli alla base rispettivamente di 45 e 30°. Ho provato a risolvere l'esercizio tracciando l'altezza dal vertice C, dividendo così il triangolo a sx in metà di un quadrato e a dx in metà di un triangolo equilatero. Però non riesco a giungere alla conclusione. Se mi voleste aiutare, ve ne sarei molto grato. Gentilmente, chiederei la soluzione passaggio per passaggio. Ringrazio anticipatamente chi vorrà supportarmi.

20230301 174536

 

Autore

P.S. Nel qual caso non si vedesse chiaramente, la risposta è 4(3 + sqrt 2 + sqrt 3). Ancora grazie a tutti

2 Risposte



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image

Ciao @beppe

x^2 + y^2 = 128 + 32·√3

x/SIN(105°) = y/SIN(45°) Teorema di seni

x·(√6 - √2) = √2·y----> y = x·(√3 - 1)

Quindi:

x^2 + (x·(√3 - 1))^2 = 128 + 32·√3

x^2 + x^2·(4 - 2·√3) = 128 + 32·√3

x^2·(5 - 2·√3) = 128 + 32·√3

x = - 4·√3 - 4 ∨ x = 4·√3 + 4

(scarto la negativa)

y = (4·√3 + 4)·(√3 - 1)----> y = 8

z/SIN(30°) = 8/SIN(45°) ( ancora Th SENI)

2·z = 8·√2-----> z = 4·√2

perimetro= x + y + z = (4·√3 + 4) + 8 + 4·√2

quindi:  perimetro= 4·√3 + 4·√2 + 12 = 4·(√3 + √2 + 3)

@lucianop 

Ciao ti ringrazio molto per la risposta; volevo solo comunicarti che il problema è stato estrapolato da un testo di seconda superiore, dove la trigonometria non è ancora conosciuta. Pertanto penso ci debba essere un altro modo di risolverlo. Se vuoi e puoi, inviamelo, perché le mie nozioni di trigonometria sono veramente poche e dimenticate. Grazie di tutto e buona serata.



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Ciao @beppe

Dividi il lato AB= x di sopra in due: proiezioni dei due lati AC e BC indicati in figura con y e z, mentre h è altezza relativa ad x

Il sistema:

{x^2 + y^2 = 128 + 32·√3

{x = a + b

{a = √2/2·z

{b = √3/2·y

{h = a

{h = 1/2·y

ti permette di raggiungere la soluzione:

[x = 4·√3 + 4 ∧ y = 8 ∧ z = 4·√2 ∧ a = 4 ∧ b = 4·√3 ∧ h = 4,

x = - 4·√3 - 4 ∧ y = -8 ∧ z = - 4·√2 ∧ a = -4 ∧ b = - 4·√3 ∧ h = -4]

La seconda la scarti.



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