Problema triangolo rettangolo

Ciao @beppe

Indichiamo con x ed y i due cateti del triangolo rettangolo. La sua area è data quindi da:

Α = 1/2·√(x^2 + y^2)·h = x·y/2

avendo indicato con h l'altezza relativa all'ipotenusa.

√(x^2 + y^2)·h = x·y-------> h = x·y/√(x^2 + y^2)

Quindi :

√(x^2 + y^2) = 25/12·(x·y/√(x^2 + y^2))

da cui possiamo scrivere il sistema:

{x^2 + y^2 = 25/12·(x·y)

{x + y = 14/5·a

risolvibile per sostituzione:

y = 14·a/5 - x

x^2 + (14·a/5 - x)^2 = 25/12·(x·(14·a/5 - x))

x^2 + (x^2 - 28·a·x/5 + 196·a^2/25) = 25/12·(14·a·x/5 - x^2)

2·x^2 - 28·a·x/5 + 196·a^2/25 = 35·a·x/6 - 25·x^2/12

49·x^2/12 - 343·a·x/30 + 196·a^2/25 = 0

risolvi ed ottieni:

x = 8·a/5 ∨ x = 6·a/5 ( cateti)

per 

x = 8·a/5 : y = 14·a/5 - 8/5·a-----> y = 6·a/5

per

y = 6·a/5: y = 14·a/5 - 6/5·a-----> y = 8·a/5

(sistema simmetrico)

Ipotenusa: √((8·a/5)^2 + (6·a/5)^2) = 2·a

Se riscrivi la seconda equazione come

x^2 + y^2 = 25/12 xy

hai un sistema simmetrico non fondamentale

(x + y)^2 - 2 xy = 25/12 xy

(14/5 a)^2 = 49/12 xy

xy = 196/25 a*2 * 12/49 = 48/25 a^2

t^2 - 14/5 a t + 48/25 a^2 = 0

t = 7/5 a +- sqrt (49/25 a^2 - 48/25 a^2)

per cui x = 6/5 a e y = 8/5 a

e per il Teorema di Pitagora  z = 10/5 a = 2a

Determinare i lati (a, b, c) di un triangolo rettangolo, sapendo che
* la somma dei cateti è (14/5)*k
* l'ipotenusa è i 25/12 dell'altezza ad essa relativa.
Risposta: 6*k/5; 8*k/5; 10*k/5 ≡ 2*(3, 4, 5)*k/5.
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Misure in unità: k, k^2.
In un triangolo rettangolo non degenere di lati
* 0 < a <= b < c = √(a^2 + b^2)
e di altezza relativa all'ipotenusa
* h = a*b/c
si hanno i dati
* a + b = 14/5
* c = (25/12)*h
da cui il sistema risolutivo
* (a + b = 14/5) & (c = √(a^2 + b^2) = (25/12)*h) & (h = a*b/c) & (0 < a <= b) ≡
≡ (a = 6/5) & (b = 8/5) & (c = 2) & (h = 24/25)
che è proprio il risultato atteso.
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DETTAGLI
* c = (25/12)*a*b/c ≡
≡ a*b = (12/25)*c^2 ≡
≡ a*b = (12/25)*(a^2 + b^2) ≡
≡ a*b = (12/25)*((a + b)^2 - 2*a*b) ≡
≡ u = (12/25)*((14/5)^2 - 2*u) ≡
≡ u = a*b = 48/25
da
* (a + b = 14/5) & (a*b = 48/25) & (0 < a <= b) ≡
≡ (a = 6/5) & (b = 8/5)
si calcolano anche c ed h.