Un triangolo isoscele $A B C$ di base $A B$ è circoscritto a una circonferenza. Sapendo che il punto di tangenza $H$ divide il lato $B C$ in due parti, $B H$ e $H C$, lunghe rispettivamente $42 cm$ e $28 cm$, determina l'altezza del triangolo e la lunghezza del raggio della circonferenza.
$56 cm ; 21 cm$.
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Livello 2
Con riferimento alla figura su allegata considera i triangoli rettangoli simili: OHC e BCD
(hanno un angolo acuto congruente)
Possiamo scrivere:
{h/28 = (28 + 42)/(h - r)
{h - r = √(28^2 + r^2)
che risolto fornisce: [h = 56cm ∧ r = 21 cm]
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Genius II
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Ciascun lato obliquo $BC= BH+HC = 42+28 = 70~cm;$
applica la relazione-equazione seguente con i dati che abbiamo:
$HC= BC-\dfrac{AB}{2}$
$28=70-\dfrac{AB}{2}$
$28-70 = -\dfrac{AB}{2}$
$-42 = -\dfrac{AB}{2}$
$-84 = -AB$
$84 = AB$
per cui:
base $AB= 84~cm;$
perimetro $2p= 84+2×70 = 224~cm;$
altezza $h= \sqrt{70^2-\big(\frac{84}{2}\big)^2} = \sqrt{70^2-42^2} = 56~cm;$
area $A= \dfrac{84×56}{2} = 2352~cm^2;$
raggio $r= \dfrac{2·A}{2p} = \dfrac{2×2352}{224} = 21~cm.$
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Genius I
