[Risolto] Problema trapezio

La somma e la differenza delle basi di un trapezio rettangolo misurano rispettivamente 90 cm e 12 cm e l'area del trapezio è 2340 cm². Calcola il perimetro e la diagonale minore del trapezio. 

==============================================

Somma e differenza tra le basi, quindi:

base maggiore $B= \dfrac{90+12}{2} = 51~cm$;

base minore $b= \dfrac{90-12}{2} = 39~cm$;

proiezione lato obliquo $p_{lo}= B-b = 12~cm$;

altezza $h= \dfrac{2·A}{B+b} = \dfrac{2×2340}{90} = 52~cm$;

lato obliquo $l_o= \sqrt{h^2+p_{lo}^2} = \sqrt{52^2+12^2} ≅ 53,367~cm$ (teorema di Pitagora);

lato retto = altezza $l_r= 52~cm$;

perimetro $2p= B+b+l_r+l_o = 51+39+52+53,367 =195,367~cm$;

diagonale minore $d= \sqrt{b^2+h^2} = \sqrt{39^2+52^2} = 65~cm$ (teorema di Pitagora).

La somma e la differenza delle basi di un trapezio rettangolo misurano rispettivamente 90 cm e 12 cm e l'area del trapezio è 2340 cm2. Calcola il perimetro e la diagonale minore del trapezio.

somma_basi = 90 cm
differenza_basi = 12 cm
Area = 2340 cm²

Dalla teoria sappiamo che dati due segmenti a, b con a>b; (a+b)-(a-b) = 2b cioè la somma di due segmenti meno la loro differenza è uguale al doppio del segmento minore.
Nel nostro caso (vedi figura allegata) i due segmenti sono la base maggiore del trapezio (AB) e la base minore del trapezio (CD) per cui avremo:

doppio_CD=somma_basi-differenza_basi = 78 cm
CD=doppio_CD/2 = 39 cm
AB=somma_basi-CD = 51 cm

Area = (B1+B2)*h/2 con la formula inversa calcoliamo l'altezza h che è uguale anche alla lunghezza del lato avente i due angoli retti (AD)
h=2*Area/somma_basi = 52 cm
CH=AD=h = 52 cm

la differenza delle basi ci darà il segmento HB
HB=differenza_basi = 12 cm

Calcoliamo ora con Pitagora il lato obliquo BC
BC=Sqrt(HB^2+h^2) = 53.366656257 cm = 53 cm circa

Perimetro=AB+BC+CD+AD = 195 cm

Calcoliamo la diagonale AC
AC=Sqrt(CD^2+h^2) = 65 cm