[Risolto] problema tipo invalsi 2 liceo

Ripasso
Nel triangolo rettangolo di lati
* 0 < a <= b < c = √(a^2 + b^2)
si ha
* perimetro 2*p = a + b + c = a + b + √(a^2 + b^2)
* area S = a*b/2 = c*h/2
* altezza sull'ipotenusa h = a*b/c = a*b/√(a^2 + b^2)
* inraggio r = S/p = a*b/(a + b + √(a^2 + b^2))
* circumraggio R = c/2 = √(a^2 + b^2)/2
Esercizio
Misure in: dm, dm^2 (a); cm, cm^2 (b).
Dai dati (a = 6) & (b = 8) si riconosce il doppio della minima terna pitagorica, 2*(3, 4, 5), quindi
* c = 10
* 2*p = 2*12 = 24
* S = 6*8/2 = 24
* r = 24/12 = 2
Quesiti
a) Per (2*p = 24) & (2*r = 4) si valutano le alternative
A) 12 + 16 + 4 = 32
B) 12 + 16 - 4 = 24
C) 4 + 16 - 12 = 8
D) 12 - 16 - 4 = - 8
e si risponde B.
b) Se 2*p = 24 allora l'inraggio è r = 2.

spiegazione del perché l'opzione B 

CF = CE (equidistanza del punto esterno C ai punti di tangenza E ed F)

BD =  BE (equidistanza del punto esterno B ai punti di tangenza E e D)

CF = 6-r = CE

BD = 8-r = BE

perimetro 2p = 2CF+2BD+2r  = 2((6-r)+(8-r))+2r = 12+16-4r+2r = 12+16-2r 

Il diametro della circonferenza inscritta nel triangolo è pari alla differenza tra la somma dei cateti e l'ipotenusa.

2r = c1 + c2 - Ipotenusa ;

Ipotenusa = c1 + c2 - 2r

(questa  relazione è conseguenza del fatto che i segmenti di tangenza condotti da un punto esterno alla circonferenza sono congruenti...) 

Ipotenusa = 2p - (c1 + c2)

2p - (c1 + c2) = c1 + c2 - 2r;

2p = c1 + c2 + c1 + c2 - 2r;

2p = 2 c1 + 2 c2 - 2r = 2 * 6 + 2 * 8 - 2r;

2p = 12 + 16 - 2r; risposta B

@mbmbmb ciao 

oppure con i dati

Ipotenusa = radicequadrata(6^2 + 8^2) = radice(100) = 10 dm;

Perimetro = 6 + 8 + 10 = 24 dm

Area triangolo = 6 * 8 / 2 = 24 dm^2;

 Area = perimetro * apotema / 2;

apotema = raggio del cerchio inscritto; a = r;

perimetro * r /2 = 24 dm^2;

r = 24 * 2 / 24;

r = 2  dm;

2p = 12 + 16 - 2 * 2 = 28 - 4 = 24 dm; risposta B 

il perimetro del triangolo è 6 + 8 + 10

radice(6^2+8^2) = 10

quindi 24

il raggio sta una volta al cateto lungo ed una volta a quello corto

quindi se tolgo sia al perimetro 2r 

devo avere 26 -2r