[Risolto] Problema sull'ellisse

a) Nell'equazione in forma normale standard della generica ellisse Γ non ruotata (con assi di simmetria paralleli agli assi coordinati)
* Γ ≡ ((x - α)/a)^2 + ((y - β)/b)^2 = 1
ci sono quattro parametri: semiassi (a, b) e coordinate del centro C(α, β).
In questo caso il centro è dato, C(4, 2), da cui
* Γ ≡ ((x - 4)/a)^2 + ((y - 2)/b)^2 = 1
e i semiassi si determinano dai vincoli d'appartenenza di (8, 0) e (- 1, 1)
* (((8 - 4)/a)^2 + ((0 - 2)/b)^2 = 1) & (((- 1 - 4)/a)^2 + ((1 - 2)/b)^2 = 1) & (a > 0) & (b > 0) ≡
≡ (a = 2*√7) & (b = 2*√21/3)
quindi
* Γ ≡ ((x - 4)/(2*√7))^2 + ((y - 2)/(2*√21/3))^2 = 1 ≡
≡ x^2 + 3*y^2 - 8*x - 12*y = 0
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b1) "... sono radici dell'equazione"
* t^4 - 2*t^3 + 2*t^2 - t = 0 ≡
≡ (t^2 - t + 1)*t*(t - 1) = 0 ≡
≡ (t^2 - t + 1 = 0) oppure (t = 0) oppure (t = 1)
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b2) "... punti dell'ellisse le cui ordinate sono ..."
* y = 0: ((x - 4)/(2*√7))^2 + ((0 - 2)/(2*√21/3))^2 = 1 ≡ C(0, 0) oppure D(8, 0)
* y = 1: ((x - 4)/(2*√7))^2 + ((1 - 2)/(2*√21/3))^2 = 1 ≡ B(- 1, 1) oppure A(9, 1)
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c) L'area S del trapezio isoscele ABCD è il prodotto dell'altezza per la media delle basi
* S = (1 - 0)*((9 - (- 1)) + (8 - 0))/2 = 9
Vedi http://www.wolframalpha.com/input?i=polygon%289%2C1%29%28-1%2C1%29%280%2C0%29%288%2C0%29
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b3) La retta tangente una conica Γ non degenere nel suo punto T(u, v) è, nella polarità indotta da Γ sul piano Oxy, la retta polare p del polo T; si ricava dalla forma normale canonica di Γ
* Γ ≡ x^2 + 3*y^2 - 8*x - 12*y = 0
applicandole le sostituzioni di sdoppiamento
* x^2 → u*x
* y^2 → v*y
* x*y → (v*x + u*y)/2
* x → (u + x)/2
* y → (v + y)/2
che, nel caso in esame, danno luogo a
* p ≡ u*x + 3*v*y - 8*(u + x)/2 - 12*(v + y)/2 = 0 ≡
≡ (v = 2) & (x = ± 2*√7) oppure (v != 2) & (y = ((4 - u)*x + 6*v + 4*u)/(3*(v - 2)))
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Le quattro sostituzioni te le scrivi da te, vero?