determina le rette tangenti alla parabola di equazione y=x^2-3x+2 nei suoi punti di intersezione con gli assi cartesiani e l’area del triangolo individuato da tali rette.
Su questo problema ho già trovato i punti di intersezione A(0,2) B(2,0) C(1,0) e le tangenti, mancherebbe l’area del triangolo che dovrebbe fare 1/2 , ma non riesco a trovarla.
Grazie in anticipo
46
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Livello 0
Sotto ti ho messo la soluzione grafica. Devi mettere a sistema a due a due le rette tangenti trovate. Una volta trovate le coordinate di tali punti DEF è facile ottenere il risultato dell'area
@cremino ciao,ma come si trovano le tangenti?
La parabola
* Γ ≡ y = x^2 - 3*x + 2 ≡
≡ y = (x - 1)*(x - 2) ≡
≡ y = (x - 3/2)^2 - 1/4
ha
* apertura a = 1 > 0 ≡ concavità verso y > 0 ≡ lunghezza focale f = 1/(4*|a|) = 1/4
* asse di simmetria x = 3/2
* vertice V(3/2, - 1/4)
* fuoco F(3/2, - 1/4 + f) = (3/2, 0)
* direttrice d ≡ y = yV - f ≡ y = - 1/2
* zeri X1(1, 0) oppure X2(2, 0)
* intercetta Y(0, 2)
* pendenza m(x) = 2*x - 3
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Con le pendenze nelle intersezioni
* X1(1, 0): m(x) = 2*1 - 3 = - 1
* X2(2, 0): m(x) = 2*2 - 3 = + 1
* Y(0, 2): m(x) = 2*0 - 3 = - 3
si determinano le richieste rette tangenti in
* X1(1, 0): t1 ≡ y = - 1*(x - 1) ≡ y = 1 - x
* X2(2, 0): t2 ≡ y = + 1*(x - 2) ≡ y = x - 2
* Y(0, 2): ty ≡ y = 2 - 3*x
e i vertici del loro triangolo
* t1 & ty ≡ (y = 1 - x) & (y = 2 - 3*x) ≡ A(1/2, 1/2)
* t2 & ty ≡ (y = x - 2) & (y = 2 - 3*x) ≡ B(1, - 1)
* t1 & t2 ≡ (y = 1 - x) & (y = x - 2) ≡ C(3/2, - 1/2)
che è rettangolo in C (t1 e t2 hanno pendenze antinverse, C è sulla direttrice), perciò l'area si calcola come semiprodotto dei cateti
* S = |AC|*|BC|/2 = (√2)*(1/√2)/2 = 1/2
57171
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