[Risolto] Problema sulle coniche

Per rappresentare una circonferenza i termini quadratici devono avere stesso segno e stesso valore, il raggio della circonferenza deve essere >=0

Imponendo la condizione richiesta si ricava:

k= 1-k

2k=1

k= 1/2

L'equazione della circonferenza è:

x²+y²+2x-2y+2 = 0

(x+1)²+(y-1)²=0

Circonferenza degenere di raggio zero. L'equazione rappresenta il centro C(-1;1)

Ellisse:

Data l'equazione di secondo grado 

Ax²+By²+Cx+Dy+E= 0

rappresenta un'ellisse di centro:

0=( - C/2A ; - D/2B)

se è verificata la condizione:

C²/(4A) + D²/(4B) - E>=0

Con:

A=k

B=(1-k) 

C=E=1

D=-1

si ricavano i valori del parametro k 

1/(4k) + 1/[4*(1-k)] - 1>=0

(2k-1)²/[k*(1-k)] >=0

Essendo il numeratore il quadrato di un binomio è sufficiente studiare il segno del denominatore. Si ricava

k*(1-k)>0

0<k<1

L'equazione in (x, y) di una famiglia di coniche, parametrica in k,
* Γ(k) ≡ k*x^2 - (k - 1)*y^2 + x - y + 1 = 0
ha due soli coefficienti parametrici perciò ha due sole coniche particolari.
Non avendo il termine rettangolare le coniche rappresentate hanno assi di simmetria paralleli agli assi coordinati.
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* Γ(0) ≡ x = - y^2 + y - 1 ≡ x = - 3/4 - (y - 1/2)^2
parabola con: asse y = 1/2; vertice V(- 3/4, 1/2); concavità verso x < 0.
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* Γ(1) ≡ y = x^2 + x + 1 ≡ y = 3/4 + (x + 1/2)^2
parabola con: asse x = - 1/2; vertice V(- 1/2, 3/4); concavità verso y > 0.
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Per ogni k non in {0, 1}, quindi con entrambi i termini quadrati, Γ(k) rappresenta una conica a centro che si riscrive nella forma normale standard su cui classificare le coniche generate al variare di k.
* Γ(k) ≡ k*x^2 - (k - 1)*y^2 + x - y + 1 = 0 ≡
≡ k*x^2 + x - (k - 1)*y^2 - y + 1 = 0 ≡
≡ k*(x + 1/(2*k))^2 - 1/(4*k) + (1 - k)*(y - 1/(2*(1 - k)))^2 - 1/(4*(1 - k)) + 1 = 0 ≡
≡ k*(x + 1/(2*k))^2 + (1 - k)*(y - 1/(2*(1 - k)))^2 = (2*k - 1)^2/(4*(1 - k)*k) ≡
≡ (x + 1/(2*k))^2/((2*k - 1)^2/(4*(1 - k)*k^2)) + (y - 1/(2*(1 - k)))^2/((2*k - 1)^2/(4*k*(1 - k)^2)) = 1
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Si ha un'ellisse non degenere se entrambi i denominatori
* (2*k - 1)^2/(4*(1 - k)*k^2)
* (2*k - 1)^2/(4*k*(1 - k)^2)
sono positivi, e una circonferenza non degenere se inoltre sono eguali.
* ((2*k - 1)^2/(4*(1 - k)*k^2) > 0) & ((2*k - 1)^2/(4*k*(1 - k)^2) > 0) ≡
≡ ((1 - k)*k^2 > 0) & (k*(1 - k)^2 > 0) & (k non in {0, 1/2, 1}) ≡
≡ ((k < 0) oppure (0 < k < 1)) & ((0 < k < 1) oppure (k > 1)) & (k != 1/2) ≡
≡ (0 < k < 1) & (k != 1/2)
INOLTRE
* ((2*k - 1)^2/(4*(1 - k)*k^2) = (2*k - 1)^2/(4*k*(1 - k)^2)) & (0 < k < 1) & (k != 1/2) ≡
≡ ((1 - k)*k = (1 - k)^2) & (0 < k < 1) & (k != 1/2) ≡
≡ ((k = 1/2) oppure (k = 1)) & (0 < k < 1) & (k != 1/2) ≡
≡ Γ(k) non genera alcuna circonferenza non degenere.
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AVVERTENZA SUL RISULTATO ATTESO
* Γ(1/2) ≡ (x + 1)^2 + (y - 1)^2 = 0
rappresenta una circonferenza degenere sul suo centro C(- 1, 1).