Problema sulla Parabola, geometria analitica

[-4, -3] Fuoco

y = -5 direttrice (orizzontale)

Parabola ad asse verticale del tipo: y = a·x^2 + b·x + c

In base alla definizione:

√((x + 4)^2 + (y + 3)^2) = ABS(y + 5)

[x, y] della parabola equidistante dal fuoco e dalla direttrice

x^2 + 8·x + y^2 + 6·y + 25 = y^2 + 10·y + 25

(ho elevato al quadrato)

ottengo: y = x^2/4 + 2·x

Calcolo i punti richiesti tramite sistema:

{y = x^2/4 + 2·x

{y = 5

risolvo ed ottengo: [x = 2 ∧ y = 5, x = -10 ∧ y = 5]

Per le tangenti in tali punti utilizzo le formule di sdoppiamento

(y + 5)/2 = 2·x/4 + 2·(x + 2)/2

y = 3·x - 1  in [2, 5]

(y + 5)/2 = - 10·x/4 + 2·(x - 10)/2

y = - 3·x - 25  in [-10, 5]

Figura:

Siamo a buon punto?

Se svolgo a) sai fare il resto ?

a) seguendo la definizione

(x+4)^2 + (y+3)^2 = (y+5)^2/(0+1)

x^2 + 8x + 16 + 6y + 9 = 10y + 25

4y = x^2 + 8x

y = 1/4 x^2 + 2x

b) Cerco i due punti A e B intersecando

y = 1/4 x^2 + 2x

y = 5

1/4 x^2 + 2x = 5

x^2 + 8x - 20 = 0

x^2 + 10x - 2x - 20 = 0

x(x + 10) - 2(x + 10) = 0

(x + 10)( x - 2) = 0

x = -10 V x = 2

A = (-10,5) B = (2,5)

Per un calcolo rapido delle tangenti ricordiamo che

mt = 2a xo + b = 2 * 1/4 xo + 2 = xo/2 + 2

per cui

tA : y - 5 = (-5 + 2) (x + 10)

y = - 3x - 25

tB : y - 5 = (1 + 2) ( x - 2)

y = 3x - 1

Verifica grafica

https://www.desmos.com/calculator/pigfmszrkl

Il resto ( c, d, e ) te lo faccio perché ho capito che ne hai proprio bisogno, ma ai miei tempi.

Per quanto semplice, il problema é troppo laborioso per poterlo infilare in mezzo alle

incombenze familiari.

c) Interseco

{ y = -3x - 25

{ y = -5

-3x - 25 = - 5

-3x = 20

x = -20/3

e ho il punto (-20/3, -5)

interseco

{ y = 3x - 1

{ y = -5

3x - 1 = -5

x = (1-5)/3 = -4/3

e ho il punto   (-4/3, -5)

Interseco infine

{ y = -3x - 25

{ y = 3x - 1

si trae

3x - 1 = -3x - 25

3x + 3x = 1 - 25

6x = -24

x = -4

y = -12 - 1 = -13

e ho il punto (-4, -13)

La base del triangolo é allora b = |-20/3 - (-4/3)| = 16/3

l'altezza é h = |-13 - (-5)| = 8

e l'area S = 1/2 * 16/3 * 8 = 64/3 unità quadratiche.

d) D = (-5/2, -5)

y + 5 = m (x + 5/2)

Scriviamo la risolvente

1/4 x^2 + 2x = mx + 5/2 m - 5

x^2 + 8x = 4mx + 10 m - 20

x^2 - 4(m - 2) x - 10(m - 2) = 0

Delta = 0

16 (m - 2)^2 + 40 (m - 2)

4(m - 2) [ 4(m - 2) + 10 ] = 0

m - 2 = 0 V 4m - 8 + 10 = 0 => 4m = - 2

m1 = 2 e m2 = -1/2

m1*m2 = -1 e le due rette sono perpendicolari

p) y + 5 = 2(x + 5/2) => y = 2x

q) y + 5 = -1/2 (x + 5/2)

4y + 20 = -2x - 5

2x + 4y + 25 = 0

e1) per ora scrivo solo in via teorica

Sostituisci m = 2 e m = -1/2 in x^2 - 4(m - 2) x - 10(m - 2) = 0

trovi l'unica soluzione che é l'ascissa del punto di tangenza.

Metti quello che trovi nell'equazione della tangente e hai l'ordinata.

Scrivi l'equazione della retta per due punti EF e verifichi che é

soddisfatta dalle coordinate di P.

Aggiornamento

e2) svolgimento con i passaggi

e) Se m = 2 resta x^2 = 0 => x = 0

y = 2x = 2*0 = 0 => E = (0,0)

se m = -1/2

x^2 - 4 (-5/2)x - 10(-5/2) = 0

x^2 + 10x + 25 = 0

(x + 5)^2 = 0

x = -5

y = -1/2 *(-5) - 25/4 = 5/2 - 25/4 = (10 - 25)/4 = -15/4

F = (-5, -15/4)

Retta EF

y = [(-15/4) : (-5)] x = 3/4 x perché passa per E che é O

Verifica per il fuoco

y(xP) = 3/4 *(-4) = -3 = yP ed abbiamo finito.

Non capisco che cosa ci sia a farti dire "purtroppo non riesco a capirlo": tutt'e cinque i testi sono chiarissimi; probabilmente devi ristudiare il capitolo con più calma della prima volta e prendendo appunti organizzati secondo le tue associazioni mentali e non quelle dell'autore (com'è sul libro).
Ti rispondo cercando di chiarirti le associazioni mentali mie.
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Il punto 'a' definisce una parabola (dandone il fuoco P(- 4, - 3) e la direttrice d ≡ y + 5 = 0 ≡ y = - 5) e ne chiede l'equazione; essendo la direttrice una parallela all'asse x vuol dire che l'asse di simmetria è la parallela all'asse y che passa per il fuoco (x = - 4) e su cui cade il vertice V(- 4, - 4) equidistante da 'd' e da F per definizione di parabola (luogo dei punti equidistanti da 'd' e da F).
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L'equazione di ogni parabola Γ non degenere (cioè con distanza |Fd| = 2*f finita) con asse di simmetria parallelo all'asse y, apertura a != 0 e vertice V(w, h) ha la forma
* Γ ≡ y = h + a*(x - w)^2
con
* fuoco F(w, h + 1/(4*a))
* direttrice d ≡ y = h - 1/(4*a)
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Con i dati del caso
* w = - 4
* h = - 4
* h - 1/(4*a) = - 5 ≡ - 4 - 1/(4*a) = - 5 ≡ a = 1/4
* h + 1/(4*a) = - 3 ≡ - 4 + 1/(4*1/4) = - 3 ≡ Vero
si ha
* Γ ≡ y = - 4 + (x + 4)^2/4 ≡ y = (x/4 + 2)*x
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Il punto 'b' chiede le intersezioni
* (y - 5 = 0) & (y = (x/4 + 2)*x) ≡ A(- 10, 5) oppure B(2, 5)
e qui non c'è nulla da capire; e inoltre chiede le tangenti r in A ed s in B che, non potendo essere parallele all'asse y, devono avere pendenze opposte e contatto doppio con Γ nel punto di tangenza.
Le loro equazioni si ottengono sdoppiando rispetto al punto di tangenza la forma normale canonica di Γ
* Γ ≡ x^2 + 8*x - 4*y = 0
cioè
* r ≡ x*(- 10) + 8*(x - 10)/2 - 4*(y + 5)/2 = 0 ≡ y = - (3*x + 25)
* s ≡ x*2 + 8*(x + 2)/2 - 4*(y + 5)/2 = 0 ≡ y = 3*x - 1
che s'intersecano in T(- 4, - 13), e il loro complesso è
* r|s ≡ (y + 3*x + 25)*(3*x - y - 1) = 0 ≡ 9*x^2 - y^2 + 72*x - 26*y - 25 = 0
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Il punto 'c' chiede l'area (b*h/2) del triangolo con i lati su {d, r, s}.
Essendo d ≡ y = - 5 parallela all'asse x, ed avendo r ed s pendenze opposte, il triangolo è isoscele sulla base di estremi le intersezioni
* d & (r|s) ≡ (y = - 5) & (9*x^2 - y^2 + 72*x - 26*y - 25 = 0) ≡
≡ R(- 20/3, - 5) oppure S(- 4/3, - 5)
distanti
* b = |RS| = 16/3
ed ha altezza h la differenza fra le ordinate di d e di T
* h = |- 13 - (- 5)| = 8
da cui l'area richiesta
* b*h/2 = (16/3)*8/2 = 64/3
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Il punto 'd' chiede le tangenti p e q tirate a Γ da D(- 5/2, - 5) e poi di verificarne l'ortogonalità, cioè che abbiano pendenze antinverse.
La retta polare del polo D rispetto a Γ si scrive sdoppiando rispetto al polo la solita forma
* Γ ≡ x^2 + 8*x - 4*y = 0
cioè
* polare ≡ x*(- 5/2) + 8*(x - 5/2)/2 - 4*(y - 5)/2 = 0 ≡ y = 3*x/4
ed essa interseca Γ nei punti E ed F di tangenza di p e q, che quindi sono le congiungenti DE e DF.
* (y = 3*x/4) & (x^2 + 8*x - 4*y = 0) ≡
≡ E(- 5, - 15/4) oppure F(0, 0)
quindi
* DE ≡ y = - (2*x + 25)/4, di pendenza m = - 1/2
* DF ≡ y = 2*x, di pendenza m' = + 2 = - 1/m
da cui
* m*m' = - 1
il che verifica l'ortogonalità.
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Il punto 'e' chiede di verificare l'allineamento PEF, cioè che P(- 4, - 3) sia sulla polare y = 3*x/4, vale a dire che - 3 = 3*(- 4)/4, cosa che vera.
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Per rimediare al "purtroppo non riesco a capirlo" su esercizi simili devi ripassare (fino ed essere certo di: conoscere, avere ben compreso, saper applicare a casi concreti) tutti gli argomenti usati nello svolgimento precedente.
1) Risoluzione delle equazioni razionali intere dei gradi uno e due.
2) Rette: pendenza, parallelismo, ortogonalità.
3) Intersezioni retta-retta.
4) Intersezioni retta-conica.
5) Problema delle tangenti, retta polare, sdoppiamenti.
6) Tutto il capitolo sulla parabola (definizione, varie forme dell'equazione, distanza focale, ...).