Gli angoli A e B del triangolo ABC della figura seguente misurano rispettivamente 30 gradi e 60 gradi.Sapendo che l'altezza CH misura 12 cm, calcola perimetro e area del triangolo.
Non so come iniziare, grazie
Gli angoli A e B del triangolo ABC della figura seguente misurano rispettivamente 30 gradi e 60 gradi.Sapendo che l'altezza CH misura 12 cm, calcola perimetro e area del triangolo.
Non so come iniziare, grazie
Osservo che il triangolo rettangolo dato risulta pari a due triangoli rettangoli ognuno dei quali è la metà di un triangolo equilatero.
Chiamo x ed y le proiezioni dei cateti sull'ipotenusa
Essendo la tangente di 60°: TAN(60°) = √3
con riferimento al triangolo di destra: h = √3·y
con riferimento al triangolo di sinistra: x = √3·h ove h=12 cm
Per cui
12 = √3·y----------> y = 4·√3
poi x = 12·√3
sommo ed ottengo l'ipotenusa: AB= x + y = 4·√3 + 12·√3 = 16·√3 cm
I cateti sono: AC =2*h----->AC=24 cm
BC=2y=8·√3
Perimetro=16·√3 + 24 + 8·√3 = 24·√3 + 24=65.569 cm
Area=1/2·16·√3·12 = 96·√3=166.277 cm^2
Il triangolo è rettangolo in C perché 30° + 60° = 90°
180° - 90° = 90°.
Il lato CB opposto all'angolo di 30° è metà dell'ipotenusa AB.
CB = AB/2;
CB^2 = 12^2 + HB^2
AH : h = h : HB;
HB = CB/2
12^2 = AH * HB;
AH + HB = AB
ABC è simile a CHB;
AB : CB = h : AC;
sen30° = h/AC;
AC = h / sen30° = 12 / 0,5 = 24 cm;
sen60° = h / CB;
CB = h / sen60° = 12 / 0,866 = 13,86 cm;
AB = radice(13,86^2 + 24^2) = 27,7 cm.
Io inizierei osservando che un triangolo con angoli (30°, 60°, 90°) è metà di uno con angoli (60°, 60°, 60°) e quindi lato L = |AB| = 2*|BC|.
Inoltre, per la similitudine di ABC e HBC si ha
* |BC| = 2*|BH|
e per il teorema di Pitagora
* |CH| = √(|BC|^2 - |BH|^2)
QUESTO MI SEMBREREBBE UN BUON INIZIO.
angolo in C = 90°
triangolo BCH = metà di un triangolo equilatero , per cui :
CH = CB*√3 / 2
CB = 12*2*√3 /3 = 8√3
HB = CB/2 = 4√3
applicando Euclide
CH^2 = HB*HA
AH = 12^2/(4√3) = 36/√3 = 36√3 /3 = 12√3
AB = AH+HB = √3(12+4) = 16√3
area A = AB*CH/2 = 16√3*12/2 = 96√3 cm^2 (166,3)
AC = 2A/BC = 192√3 /(8√3) = 24
perimetro A = AB+BC+AC = 16√3+8√3+24 = 24√3+24 = 24(1+√3) cm (65,57)