[Risolto] Problema sul piano cartesiano

Sistemiamo i punti in colonna:

A(-1;-2)

B(6;5)

C(k;-3)

A(-1;-2)

Qui abbiamo supposto di conoscere k. Esiste un metodo che permette di calcolare l'area del triangolo (anche di un poligono chiuso) che sfrutta il Metodo del laccio di scarpe. Precisamente si dice che:

S(ABC)=1/2·ABS((-1)·5 + 6·(-3) + k·(-2) - ((-1)·(-3) + k·5 + 6·(-2))) = 28

Quindi:

1/2·ABS(-5 + -18 + - 2·k - (5·k - 9)) = 28

1/2·ABS(- 7·k - 14) = 28

ABS(- 7·k - 14) = 56

Questa equazione in modulo equivale  a scrivere due sistemi di cui, dopo, bisognerà fare l'unione delle due soluzioni:

{- 7·k - 14 = 56

{- 7·k - 14 ≥ 0

V

{- 7·k - 14 = -56

{- 7·k - 14 <0

Il primo sistema fornisce come soluzione:[k = -10]

Il secondo sistema fornisce come soluzione: [k = 6]

Che corrispondono due punti:  C(-10,-3) oppure C(6,-3)

Considero base AB=√(49+49) = 7√2

L'altezza h è la distanza di C(k;-3) sulla retta AB

Avendo area=28 si ha:

h = 2*area/base = 2*28/(7√2) = 4√2

retta AB, con inclinazione m=(5+2)/(6+1)=1

y+2 = x+1

x-y-1=0 con distanza su C(k;-3)

|k+3-1|/√2 = 4√2

|k+2| = 8

k+2 =±8

k=6

k=-10

"Qual è il valore di K?" INDETERMINATO
perché il nome "K" non è fra quelli del problema (A, B, C, k).
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Tre punti formano triangolo se non sono allineati.
L'area del triangolo che ha i vertici
* A ≡ P1(x1, y1), B ≡ P2(x2, y2), C ≡ P3(x3, y3)
è metà del valore assoluto di una semplice espressione delle coordinate (v. http://it.wikipedia.org/wiki/Triangolo#Formule_analitiche )
* S(ABC) = (1/2)*|x1*(y2 - y3) - x2*(y1 - y3) + x3*(y1 - y2)|
Se i tre punti sono allineati l'area del triangolo che li ha per vertici è zero.
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Noti i tre vertici
* A(- 1, - 2), B(6, 5), C(k, - 3)
si ottiene
* S(ABC) = (7/2)*|k + 2|
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Dall'equazione
* S(ABC) = (7/2)*|k + 2| = 28 ≡
≡ |k + 2| = 8 ≡
≡ (k = - 10) oppure (k = 6)
si ottengono due triangoli che soddisfanno ai requisiti
* A(- 1, - 2), B(6, 5), C1(- 10, - 3)
* A(- 1, - 2), B(6, 5), C2(6, - 3)
http://www.wolframalpha.com/input/?i=polygon%28-1%2C-2%29%2C%286%2C5%29%2C%28-10%2C-3%29%2C%28-1%2C-2%29%2C%286%2C-3%29%2C%286%2C5%29