Problema sul moto patabolico

Durante un assedio, l'esercito assediato spara sui nemici con un cannone piazzato su una torretta alta 24 m. Le palle di cannone escono dalla bocca di fuoco dell'arma con una velocità di 1.152 km/h e un'inclinazione di un angolo α = 14° verso l'alto. Trascurando la resistenza dell'aria, in quanti secondi t il proiettile tocca terra? L'esercito assediante, situato a d = 5 km dalla torretta, viene colpito? Se il cannone fosse inclinato di 76°, si otterrebbe la stessa risposta? (giustificare anche senza conti)

Vo = 1152/3,6 = 320 m/s

0-24 = 320*sin 14°*t-4,903t^2

-24-320*0,2419*t+4,903t^2 = 0 

tempo di volo t = (77,42+√77,42^2+19,612*24)/9,806 = 16,094 s

gittata (distanza)  d = Vo*cos 14°*t = 320*0,9703*16,094 = 4997 m = 5,00 km 

altezza Δh = (Vo*sin 14°)^2/2g = (320*0,2419)^2/19,612 = 305,6 m 

la gittata è proporzionale a 2*sin α*cos α e tale prodotto è lo stesso per angoli α e (90-α), pertanto la gittata è la stessa, ma cambiano tempo di volo ed altezza massima raggiunta

verifica 

0-24 = 320*sin 76°*t-4,903t^2

-24-320*0,9703*t+4,903t^2 = 0 

tempo di volo t = (310,49+√310,49^2+19,612*24)/9,806 = 63,405 s

altezza Δh = (Vo*sin 76°)^2/2g = (320*0,9703)^2/19,612 = 4.916 m 

Le equazioni del moto sono

x = vo t cos a

y = vo t sin a - 1/2 g t^2 + h

Detto T > 0 l'istante in cui il proiettile tocca terra

1/2 g T^2 - vo sin a * T - h = 0

ha una sola radice positiva

T = (vo sin(a) + sqrt (vo^2 sin^2(a) + 2 g h) )/g

che con vo = 1152/3.6 = 320 m/s

a = 14*pi/180 rad

g = 9.806 m/s^2

h = 24 m

dà   T = 16.093 s

D = vo T cos a = 320 * 16.093 * cos 14° = 4996.8 m

e non tocca l'esercito per un pelo.

Ponendo b = 76*pi/180 rad e ripetendo ottengo

T = 63.405

D = vo T cos b = ... 4908.5 m

e ancora non colpisce l'esercito.

Spero che i calcoli siano corretti