problema sui triangoli rettangoli

triangolo rettangolo OPT

COS(θ) = 12/13 = r/(ΟΤ)

SIN(θ) = √(1 - (12/13)^2) = 5/13

SIN(θ) = PT/ΟΤ

ΟΤ = 13/12·r = 13/12·(6·a) = 13·a/2

ΡΤ = 5/13·(13·a/2) = 5·a/2

perimetro= 6·a + 13/2·a + 5/2·a = 15·a

triangolo rettangolo OPS

TAN(θ) = OP/PS = 6·a/PS

TAN(θ) = 5/13/(12/13)  = 5/12

PS = 6·a/(5/12) = 72·a/5

ΟS = √((6·a)^2 + (72/5·a)^2) =  78·a/5

perimetro= 6·a + 72/5·a + 78/5·a = 36·a

Triangolo rettangolo OTS

perimetro=somma dei due perimetri-2r=

=15·a + 36·a - 2·(6·a) = 39·a

Fare un disegno della figura aiuta sempre, quindi segui il disegno per capire meglio i calcoli.

$OPS$ e $OTP$ sono triangoli rettangoli perché l'angolo alla circonferenza di un raggio la tangente in un punto è un angolo retto, come lo è naturalmente $OST$ per costruzione.

Notiamo che nel triangolo $OST$ retto in $O$ l'ampiezza di $\widehat{TOS}$ è $\alpha$ + un certo angolo che chiameremo $\beta$, mentre nel triangolo $OPT$ per la somma degli angoli interni abbiamo che $\alpha + 90 ^{\circ} + \widehat{OPT} = 180 ^{\circ}$ tuttavia da questa equazione segue $\alpha + \widehat{OPT} = 90 ^{\circ}$ e notiamo quindi che $\alpha + \beta = 90 ^{\circ} = \alpha + \widehat{OPT}$ concludiamo che $\widehat{OPT} \cong \beta$. Conoscendo il coseno dell'angolo $\alpha$, in particolare $\cos \alpha = \frac{12}{13}$ possiamo ricavare $\sin \alpha$ sapendo che $\cos^2 \alpha + \sin^2 \alpha = 1$

$\sin^2 \alpha = 1-\frac{144}{169}=\frac{25}{169} \implies \sin \alpha = \frac{5}{13}$. Sapendo inoltre che $\sin \alpha = \cos \beta,\ \cos \alpha = \sin \beta$ perché sono angoli complementari e che $\overline{OS}$ è l'ipotenusa del triangolo rettangolo  $OPS$ allora deriviamo che $\overline{OS}=\frac{OP}{sin \alpha}=6a \cdot \frac{13}{5} =\frac{78}{5}a$ e poi $\overline{SP}= \frac{OP}{sin \alpha} \cdot \cos \alpha = 6a \frac{13}{5} \cdot \frac{12}{13} = \frac{72}{5}a$.

Per trovare i lati $\overline{OT}$ e $\overline{PT}$ sapendo che $\overline{OT}$ è l'ipotenusa del triangolo rettangolo $OPT$ proseguiamo come segue:

$\overline{OT}=\frac{\overline{OP}}{\cos \alpha}= 6a \cdot \frac{13}{12} = \frac{13}{2}a$

$\overline{PT}=\frac{\overline{OP}}{\cos \alpha} \cdot \sin \alpha = 6a \cdot \frac{13}{12} \cdot \frac{5}{13} = \frac{5}{2}a$

Il perimetro di $OPT$ è quindi $P_{OPT}= \overline{OP} + \overline{OT} + \overline{PT} = 6a+\frac{5}{2}a+ \frac{13}{2}a= 15a$

Il perimetro di $OPS$ è $P_{OPS}= \overline{OP} + \overline{OS} + \overline{SP} = 6a+\frac{72}{5}a + \frac{78}{5}a=36a$

Infine il perimetro di $OST$ è $P_{OST}= \overline{OS} + \overline{SP}+ \overline{OT}  + \overline{PT}=30a +9a= 39a$