I tre carrelli sulla rotaia a cuscino d'aria mostrati nella figura hanno masse rispettivamente $4 m, 2 m$ ed $m$. Il carrello con massa maggiore ha una velocità iniziale $v_{0}$, mentre gli altri due carrelli sono inizialmente a riposo. Tutti i carrelli sono forniti di paraurti a molla che rendono le collisioni elastiche. a) Determina la velocità finale di ciascun carrello. b) Verifica che l'energia cinetica finale del sistema è uguale a quella iniziale. (Assumi che la rotaia sia abbastanza lunga per contenere tutte le collisioni).
Non capisco come impostarlo, per favore potreste aiutarmi?
Si conservano in un urto elastico sia l’energia cinetica del sistema e sia la quantità di moto.
Inizialmente la sola massa maggiore, cioè 4m ha:
Energia cinetica: 1/2 *(4m)*v^2
Quantità di moto: 4m*v
A seguito dell’urto della massa maggiore, cioè 4m con la massa minore 2m il sistema, composto dalle due masse ha:
Energia cinetica: 1/2 * (4m)* x^2+1/2 *(2m)*y^2
Quantità di moto: 4m*x+2m*y
Avendo indicato con x, y, le velocità delle prime due masse.
Quindi scriviamo il sistema
{1/2 *(4m)*v^2 = 1/2 * (4m)* x^2+1/2 *(2m)*y^2
{4m*v =4m*x+2m*y
Quindi:
{2·m·v^2 = 2·m·x^2 + m·y^2
{4·m·v = 2m·(2·x + y )
Risolvo il sistema ed ottengo:
[x = v ∧ y = 0, x = v/3 ∧ y = 4·v/3]
Scarto la prima soluzione in quanto la seconda massa, ossia 2 non sta ferma ma si muove
La seconda massa 2m ha velocità maggiore e quindi stacca la massa 4m
A questo punto considero il sistema formato dalla seconda massa 2m e dalla terza massa m e considero l’urto fra queste due masse. Procedo analogamente:
{1/2 * (2m)*(4/3*v)^2 = 1/2* (2m)*x^2+1/2 *m*y^2
{2m*(4/3*v)=2m*x+m*y
Quindi semplifico:
{16/9·v^2 = x^2 + y^2/2
{8/3·v = 2·x + y
Risolvo il sistema:
[x = 4·v/3 ∧ y = 0, x = 4·v/9 ∧ y = 16·v/9]
La prima non la considero per i motivi che ho già detto
Quindi, recapitolando alla fine le 3 masse hanno le seguenti velocità: