Dopo aver determinato la retta tangente al grafico (y=-4x-2. È giusto?) ho difficoltà nel calcolo dell’area in questione. Sul grafico l’ho individuata e ho individuato come estremi di integrazione x=-1 x=-1/2 e x=0 (non so se siano quelli giusti). Da qui in poi, fatico a portare a termine lo svolgimento
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Livello 1
Si tratta di una funzione omografica:
y = 2 + 4/(x - 1)----> y = (2·x + 2)/(x - 1)
per cui è facile riconoscere 2 asintoti:
x = 1 asintoto verticale; y = 2 asintoto orizzontale
La derivata è: y'=- 4/(x - 1)^2
Per x=0 i loro valori sono:
y = (2·0 + 2)/(0 - 1)----> y = -2 quindi: (0,-2) è il punto di tangenza
f'(0)=m=- 4/(0 - 1)^2----> m = -4 coefficiente angolare della retta tangente
retta tangente: y + 2 = - 4·(x - 0)---> y = - 4·x - 2
Calcolo area richiesta
0 - (2 + 4/(x - 1)) = - 4/(x - 1) - 2
che si deve integrare tra -1 ed x=-1/2:
∫(- 4/(x - 1) - 2)dx = - 4·LN(3/4) - 1
poi:
- 4·x - 2 - (2 + 4/(x - 1)) = - 4/(x - 1) - 4·x - 4
che si deve integrare fra x=-1/2 ed x=0:
∫(- 4/(x - 1) - 4·x - 4)dx = 4·LN(3/2) - 3/2
La somma dei due integrali definiti fornisce l'area rihiesta:
- 4·LN(3/4) - 1 + (4·LN(3/2) - 3/2) = 4·LN(2) - 5/2
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Genius II
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Livello 1
Essendo le aree sotto l'asse x vanno considerati gli integrali con segno cambiato ...
