Dato un triangolo equilatero inscritto in una circonferenza di raggio 5 cm , traccia una corda parallela a un lato del triangolo, in modo che la somma di questa corda con il triplo del segmento di essa compreso fra gli altri due lati del triangolo sia $2(3+\sqrt{3}) \mathrm{cm}$.
[lunghezza corda $=6 \mathrm{~cm}$ ]
non riesco a risolvere questo problema riguardante un triangolo equilatero inscritto in una circonferenza
grazie per l'aiuto
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Livello 0
Disegnata la corda MN parallela al lato AC = 5 rad 3
e detta 2x la sua lunghezza, la distanza dal centro é, per il
Teorema di Pitagora, d = rad(r^2 - x^2)
Inoltre il triangolo PQB é equilatero a sua volta essendo
PQ parte di MN parallela ad AC. Questo permette di affermare che
l'altezza di tale triangolo é PQ rad(3)/2
e in conseguenza
rad(r^2 - x^2) + PQ/2 rad(3) = r
da cui si deduce subito PQ = 2/rad(3) * (r - rad(r^2 - x^2) )
e la risolvente MN + 3PQ = 2(3 + rad(3))
si traduce in
2x + 3/rad(3) * 2(r - rad(r^2 - x^2) = 2(3 + rad(3))
x + rad(3) ( r - rad (r^2 - x^2)) = 3 + rad(3)
e dobbiamo portare in forma normale questa equazione irrazionale.
Con r = 5
5 - rad(25 - x^2) = (3 + rad(3) - x )/rad(3)
0 < x < 3 + rad (3) e x < 5
rad(25 - x^2) = 5 - rad(3) - 1 + x/rad(3)
rad(3) rad(25 - x^2) = 4 rad(3) - 3 + x
3(25 - x^2) = x^2 + 48 + 9 - 24 rad(3) + 2x (4 rad(3) - 3)
75 - 3x^2 = x^2 + 57 - 24 rad(3) + 8x rad(3) - 6x
e riducendo
4x^2 + 2(4 rad(3) - 3) x - (18 + 24 rad(3) ) = 0
e infine la forma normale
2x^2 - (3 - 4 rad(3)) x - (9 + 12 rad(3)) = 0
di cui si può accettare solo la radice positiva.
Applicando la formula risolutiva con tale prescrizione
x = [(3 - 4 rad(3)) + rad (9 + 48 - 24 rad(3) + 72 + 96 rad(3) )]/4 =
= [(3 - 4 rad(3) + rad (129 + 72 rad(3))]/4
129^2 - 3*5184 = 1089 = 33^2 per cui il radicale doppio é riducibile e
x = 1/4 * [ 3 - 4 rad(3) + rad((129 + 33)/2) + rad((129 - 33)/2 ] =
= 1/4 * [ 3 - 4 rad(3) + 9 + 4 rad(3) ] =
= 12/4 = 3 (accettabile perché compresa nell'intervallo indicato )
e infine MN = 2x = 2*3 = 6
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Livello 7
