[Risolto] Problema su trapezio rettangolo

In un trapezio rettangolo di area 690 cm^2 la somma delle basi supera l'altezza di 49 cm e la base minore è i 9/14 della maggiore. Trova il perimetro del trapezio. (114cm).

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Altezza $=h$;

somma delle basi $B+b = h+49$;

equazione utilizzando la formula inversa dell'area per calcolare la somma delle basi $(B+b= \frac{2A}{h})$:

$h+49 = \frac{2×690}{h}$

$h+49 = \frac{1380}{h}$

$h(h+49) = 1380$

$h^2+49h = 1380$

eguagliamo a zero:

$h^2+49h-1380 = 0$

equazione di 2° grado completa per cui risolviamo con i seguenti dati:

$a= 1$;

$b= 49$;

$c= -1380$;

$∆= b^2-4ac = 49^2-(4·1·-1380) = 2401-(-5520) = 2401+5520 = 7921$ (discriminante positivo quindi avremo due soluzioni reali e distinte);

applica la formula risolutiva:

$h_{1,2}= \dfrac{-b±\sqrt∆}{2a} = \dfrac{-49±\sqrt{7921}}{2·1} = \dfrac{-49±89}{2}$;

le due soluzioni:

$h_1= \dfrac{-49-89}{2} = \dfrac{-138}{2} = -69$;

$h_2= \dfrac{-49+89}{2} = \dfrac{40}{2} = 20$;

per l'altezza prendiamo quindi $h= h_2= 20~cm$ (l'altra è negativa e una lunghezza non può esserlo);

torniamo al trapezio rettangolo ricapitolando:

altezza $=h = 20~cm$;

somma delle basi $B+b = h+49 = 20+49 = 69~cm$;

conoscendo somma e rapporto (9/14) tra le basi puoi calcolarle come segue:

base minore $b= \dfrac{69}{9+14}×9 = \dfrac{69}{23}×9 = 3×9 = 27~cm$;

base maggiore $B= \dfrac{69}{9+14}×14 = \dfrac{69}{23}×14 = 3×14 = 42~cm$;

proiezione del lato obliquo $p_{lo} = B-b = 42-27 = 15~cm$;

lato obliquo $l_o= \sqrt{h^2+(p_{lo})^2} = \sqrt{20^2+15^2} = 25~cm$ (teorema di Pitagora);

lato retto = altezza $l_r= h = 20~cm$;

infine:

$perimetro ~~2p= B+b+l_r+l_o = 42+27+20+25 = 114~cm$.

B=base maggiore

b=base minore

h=altezza

O=lato obliquo 

A=690cm²

B+b=h+49cm

b=9/14B

h*(h+49)=2*690

h²+49=1380

h²+49-1380=0

h=(-49+-√(49²-4*1*(-1380)))/2*1

h=(-49+-√(2401+5520))/2

h=(-49+-√(7921))/2

h=(-49+-89)/2

il numero negativo si esclude perché non può essere una altezza negativa

h=40/2

h=20cm

B+b=h+49

B+b=20+49=69cm

B+9/14B=69

14B+9B=966

23B=966

B=966/23

B=42cm

b=9/14B

b=27cm

O=√(h²+(B-b)²)=

O=√(20²+(42-27)²)=

O=√(400+225)=

O=√625

O=25cm

P=25+27+42+20=114cm

In un trapezio rettangolo di area A = 690 cm^2, la somma delle basi B+b supera l'altezza h di 49 cm e la  base minore b è i 9/14 della maggiore. Trova il perimetro 2p del trapezio. (114cm)

2A = 690*2 = (B+b)*((B+b)-49)

detta s la somma B+b , si ha :

1380 = s^2-49s 

s = (49±√49^2+1380*4)/2 = 69,0 cm (l'altra soluzione è negativa e non accettabile)

B+b = 69,0 cm

h = 69-49 = 20 cm 

B+9B/14 = 23B/14 = 69 

B = 69/23*14 = 42 cm

b = 69-42 = 27 cm 

l2 = √(42-27)^2+20^2 = √225+400 = 25 cm 

perimetro 2p = B+b+h+l2 = 69+20+25 = 114 cm 

Il trapezio rettangolo con
* altezza h > 0
* basi 0 < a < b
* lato obliquo L = √(h^2 + (b - a)^2)
ha
* perimetro p = a + b + h + √(h^2 + (b - a)^2)
* area S = h*(a + b)/2
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In questo problema, con misure in cm e cm^2, dai dati
* S = 690
* a = 9*b/14
* a + b = h + 49 ≡ 9*b/14 + b = h + 49 ≡ h = 23*b/14 - 49
* S = 690 = h*(a + b)/2 ≡ 690 = (23*b/14 - 49)*(9*b/14 + b)/2 ≡ b = 42
si ricava
* p = a + b + h + √(h^2 + (b - a)^2) =
= 9*b/14 + b + (23*b/14 - 49) + √((23*b/14 - 49)^2 + (b - 9*b/14)^2) =
= 23*b/7 - 49 + √((277/98)*(b - 7889/277)^2 + 60025/554) =
= 23*42/7 - 49 + √((277/98)*(42 - 7889/277)^2 + 60025/554) =
= 89 + √625 =
= 89 + 25 =
= 114
che è proprio il risultato atteso.