problema su piramide

Il tetto della basilica di San Marco ha la forma di una piramide retta a base quadrata. Lo spigolo S della base misura 10,5 m e l'altezza h misura 18,2 m. Qual è l'area Al della superficie laterale?

apotema a = √h^2+(S/2)^2 = √18,2^2+5,25^2 = 18,94 mm 

Al = 10,5*4*9,47 = 398 m^2

Apotema di base $apb= \frac{sb}{2} = \frac{10,5}{2} = 5,25~m$;

apotema della piramide $ap= \sqrt{h^2+apb^2} = \sqrt{18,2^2+5,25^2} = 18,942~m$ (teorema di Pitagora applicato al triangolo rettangolo interno al solido che ha per cateti l'altezza e l'apotema di base e per ipotenusa l'apotema incognito);

perimetro di base $2pb= 4s = 4×10,5 = 42~m$;

infine:

area laterale della piramide $Al= \frac{2pb×ap}{2} = \frac{42×18,942}{2} = 397,782~m^2$.

L'area S della superficie laterale di una piramide retta a base quadrata è quella delle quattro facce triangolari isosceli che hanno per base uno spigolo b di base della piramide e per altezza l'apotema a della piramide
* S = 4*a*b/2 = 2*b*a
L'apotema a della piramide è ipotenusa di un triangolo rettangolo che ha per cateti l'altezza h della piramide e la metà dello spigolo b
* a = √(h^2 + (b/2)^2)
quindi
* S = 2*b*a = 2*b*√(h^2 + (b/2)^2)
Con
* b = 10,5 m = 105 dm
* h = 18,2 m = 182 dm
si ha
* S = 2*105*√(182^2 + (105/2)^2) = 735*√2929 dm^2 = (147/20)*√2929 ~= 397.78 m^2