[Risolto] Problema su Parabole e trasformazioni

@__tomas

Ciao e benvenuto.

Il punto P(2,1) è di simmetria centrale relativamente alle due parabole ad asse verticale γ1 e γ2. Siccome tale punto è sulla retta x=2 ed i due punto A e B devono essere distanti AB=2 , i punti A e B devono avere 

le coordinate pari a A(2,2) e B(2,0) essendo P punto di simmetria centrale.

Quindi, la parabola γ1 passando per l'origine deve avere equazione del tipo:

y = a·x^2 + b·x e può passare per A(2,2) oppure per B(2,0)

1° caso γ1 passa per B(2,0)

Per essa si sa che passa per O(0,0) e per B(2,0), quindi deve essere anche:

0 = a·2^2 + b·2--------> b = - 2·a-----> y = a·x^2 - 2·a·x

Un suo generico punto è quindi [x,a·x^2 - 2·a·x]

Passiamo ora alla parabola γ2 :    y = α·x^2 + β·x + c

Essa passa per due punti Q(0,10), quindi c=10: y = α·x^2 + β·x + 10

Il passaggio per A(2,2) impone che:

2 = α·2^2 + β·2 + 10------> 2 = 4·α + 2·β + 10-----> β = - 2·α - 4

y = α·x^2 - x·(2·α + 4) + 10

Quindi un suo generico punto ha coordinate: [ x, α·x^2 - x·(2·α + 4) + 10]

Se fra le due funzioni esiste una simmetria centrale rispetto al punto P(2,1), valgono le relazioni di trasformazione:

{x’= 2Xp-X= 4-x

{y’=2Yp- Y=2-y

Quindi nella 1^ parabola sostituiamo:

{x---à 4-x

{y-à2-y

2 - y = a·(4 - x)^2 - 2·a·(4 - x)

2 - y = (a·x^2 - 8·a·x + 16·a) - (8·a - 2·a·x)

y = - a·x^2 + 6·a·x - 2·(4·a - 1)

Confrontando con quanto ottenuto per la seconda parabola deve essere:

- 2·(4·a - 1) = 10-----à a = -1

Quindi la trasformazione indica che la seconda parabola ha equazione:

y = - (-1)·x^2 + 6·(-1)·x - 2·(4·(-1) - 1)

y = x^2 - 6·x + 10

Verifica

y = α·x^2 - x·(2·α + 4) + 10

y = 1·x^2 - x·(2·1 + 4) + 10

y = x^2 - 6·x + 10

Per il 2° caso pensaci tu! (la ripetitività mi infastidisce!

Di nuovo.

Abbiamo risolto il primo caso che corrisponde a quello della figura seguente:

2° caso γ1 passa per A(2,2)

y = a·x^2 + b·x-------> 2 = a·2^2 + b·2-----> 4·a + 2·b = 2

Quindi: b = 1 - 2·a

la parabola si scrive: y = a·x^2 + (1 - 2·a)·x

Un suo generico punto è quindi:

[x, ax^2+(1-2a)x]

Passiamo ora alla parabola γ2 :    y = α·x^2 + β·x + c con c=10, quindi:

y = α·x^2 + β·x + 10

poi deve passare per B(2,0):

0 = α·2^2 + β·2 + 10-------> 4·α + 2·β = -10

da cui: β = - 2·α - 5-----> y = α·x^2 - x·(2·α + 5) + 10

Quindi un suo generico punto ha coordinate: [x, α·x^2 - x·(2·α + 5) + 10]

Procedendo come svolto precedentemente:

x----> 4-x

y----> 2-y

Che sostituiamo nella 1^ parabola

2 - y = a·(4 - x)^2 + (1 - 2·a)·(4 - x)

y = - a·x^2 + x·(6·a + 1) - 2·(4·a + 1)

Confrontando con quanto ottenuto per la seconda parabola deve essere:

- 2·(4·a + 1) = 10---------> a = - 3/2

Quindi la trasformazione indica che la seconda parabola ha equazione:

y = - (- 3/2)·x^2 + x·(6·(- 3/2) + 1) - 2·(4·(- 3/2) + 1)

y = 3·x^2/2 - 8·x + 10

mentre la prima si scrive:

y = a·x^2 + (1 - 2·a)·x-----> y = (- 3/2)·x^2 + (1 - 2·(- 3/2))·x

y = 4·x - 3·x^2/2