Per quali valori di k appartenente ad R l'equazione (k^2-4k)x^2 + (6-k)y^2 = 1 rappresenta un'iperbole equilatera con i fuochi sull'asse delle ordinate?
Penso che il risultato sia k=2 or k=3
Ma non sono sicuro di aver utilizzato il procedimento giusto, e soprattutto non so il significato dietro al procedimento che ho usato.
Grazie.
11
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Livello 0
Il primo coefficiente deve essere negativo k^2 - 4k < 0 => 0 < k < 4
e il secondo positivo 6 - k > 0 => k < 6
in modo che esca - x^2/a^2 + y^2/b^2 = 1
x^2/a^2 - y^2/b^2 = -1
Dunque 0 < x < 4
verifica parziale grafica
per k = 1
https://www.desmos.com/calculator/sfk1yjnrkb
Per essere equilatera
deve inoltre accadere che valga l'uguaglianza
-k^2 + 4k = 6 - k
da cui, sempre con 0 < k < 4
k^2 - 5k + 6 = 0
(k - 2)(k - 3) = 0
k = 2 V k = 3
confermando che il tuo risultato é esatto.
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Livello 7
@eidosm Ciao ma l'uguaglianza -k^2 + 4k = 6 - k da dove viene? Dall'equazione generale di un'iperbole equilatera?
Edit: ho capito adesso
L'equazione data
* (k^2 - 4*k)*x^2 + (6 - k)*y^2 = 1
rappresenta una conica a centro centrata nell'origine:
* ellisse se (k^2 - 4*k > 0) & (6 - k > 0) ≡ (k < 0) oppure (4 < k < 6)
* iperbole se (k^2 - 4*k)*(6 - k) < 0 ≡ (0 < k < 4) oppure (k > 6)
La condizione che l'iperbole abbia i fuochi sull'asse y è
* (k^2 - 4*k < 0) & (6 - k > 0) ≡ 0 < k < 4
che quindi caratterizza tutte le iperboli con i fuochi sull'asse y.
La condizione d'avere i semiassi eguali (ellisse circolare, iperbole equilatera) è
* |k^2 - 4*k| = |6 - k| ≡ k ∈ {(3 - √33)/2 ~= - 1.4, 2, 3, (3 + √33)/2 ~= 4.4}
CONCLUSIONE
L'equazione
* (k^2 - 4*k)*x^2 + (6 - k)*y^2 = 1
rappresenta un'iperbole equilatera con i fuochi sull'asse per
* (0 < k < 4) & (k ∈ {(3 - √33)/2, 2, 3, (3 + √33)/2}) ≡
≡ k ∈ {2, 3}
che è proprio il risultato proposto da te.
Qual che fosse il procedimento che hai usato, ha prodotto il risultato corretto.
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Genius I
