[Risolto] Problema su frazione algebrica

Questo classico problema di "decomposizione in fratti semplici"
qui proposto nella versione base con radici tutte distinte
si risolve con il principio di identità dei polinomi.

Infatti

a/x + b/(x+2) + c/(x-1) = (-5x + 2)/(x(x+2)(x-1))

equivale a

a(x+2)(x-1) + bx(x-1) + cx(x+2) = -5x+2

a(x^2+x-2) + b(x^2-x) + c(x^2+2x) = 0x^2 - 5x + 2

e uguagliando i coefficienti dei monomi di grado uguale

{a + b + c = 0

{a - b + 2c = -5

{-2a = 2

per cui a = -1

b + c = -a = 1

-b + 2c = -5 - a = -5 + 1 = -4

b + c = 1

-b + 2c = -4

sommando

3c = -3

e c = -1.

Infine a + b + c = -1 + b - 1 = 0

significa b = 1 + 1 = 2

* a/x + b/(x + 2) + c/(x - 1) =
= ((a + b + c)*x^2 + (a - b + 2 c)*x - 2*a)/(x^3 + x^2 - 2*x)
Si deve avere
* (a + b + c)*x^2 + (a - b + 2*c)*x - 2*a = 2 - 5*x ≡
≡ (a + b + c = 0) & (a - b + 2*c = - 5) & (- 2*a = 2) ≡
≡ (a = - 1) & (- 1 + b + c = 0) & (- 1 - b + 2*c = - 5) ≡
≡ (a = - 1) & (c = 1 - b) & (- 1 - b + 2*(1 - b) = - 5) ≡
≡ (a = - 1) & (c = 1 - b) & (b = 2) ≡
≡ (a = - 1) & (b = 2) & (c = - 1)