Considera due circonferenze di centri O e O' e diametri d e d' tangenti esternamente in T e aventi un'altra tangente comune r che le interseca rispettivamente in R e in S. Sia P il punto di intersezione tra le due tangenti.
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Livello 0
Il triangolo OPO’ è composto, per costruzione, da due triangoli rettangoli O’PT ed OPT. I quali risultano congruenti rispettivamente ai triangoli rettangoli O’PR ed OPS in quanto il punto P è esterno ed è, contemporaneamente, tangente alle due circonferenze. Ne consegue che PR=PT=PS e che si hanno gli angoli tali per cui:
2·α + 2·β = 180°----- > 2·(α + β) = 180°----- > α + β = 90°
Quindi in P si ha un angolo retto per il triangolo OPO’ (vedi figura).
Ne consegue inoltre che i triangoli rettangoli O’PT e OPT siano anche simili per costruzione (vedi figura) e quindi abbiano i lati omologhi in proporzione.
PT=PR=PS risulta altezza relativa all’ipotenusa di un triangolo rettangolo e quindi media proporzionale fra le proiezioni dei due cateti O’T ed OT.
Quindi: (d’/2) : PT = PT : (d/2)
Quindi moltiplicando per due entrambi i due membri risulta: d’: RS=RS : d
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Genius II
