[Risolto] PROBLEMA RETTANGOLO RETTANGOLO

ΗC = √(45^2 - 21^2)  = 12·√11 cm

ΒΗ = √(34^2 - 21^2) = √715 cm

BC=12·√11 + √715 = 66.54 cm

Calcolo gli angoli tramite formule di Briggs:

TAN(α/2) = √((p - b)·(p - c)/(p·(p - a)))

TAN(β/2) = √((p - a)·(p - c)/(p·(p - b)))

TAN(γ/2) = √((p - a)·(p - b)/(p·(p - c)))

ove:

a = 66.54 cm; b = 45 cm; c = 34 cm

p = (66.54 + 45 + 34)/2 = 72.77 cm

p - a = 72.77 - 66.54 = 6.23 cm

p - b = 72.77 - 45  = 27.77 cm

p - c = 72.77 - 34 = 38.77 cm

TAN(α/2) = √(27.77·38.77/(72.77·6.23))= 1.541046095

α = 1.990375691 rad---- > α = 114.04°

TAN(β/2) = √(6.23·38.77/(72.77·27.77)) = 0.3457226207

β = 0.665718332 rad ---> β = 38.14°

TAN(γ/2) = √(6.23·27.77/(72.77·38.77)) = 0.2476326329

γ = 0.4854986295 rad ---> γ = 27.82°

Misure in cm, cm^2.
Del triangolo di vertici {A, B, C}, con relativi angoli interni di ampiezze {α, β, γ = π - (α + β)} e lati opposti di lunghezze {a, b, c = p + q}
1) sono date le lunghezze a = 34, b = 45 ed h = 21 come altezza CH dove p = |AH| e q = |HB|;
2) si chiede di determinare: c, α, β, γ, p = a + b + c, S = c*h/2.
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Dall'esame dei triangoli rettangoli AHC e HBC si vede che
* c = p + q = √(b^2 - h^2) + √(a^2 - h^2) =
= √(45^2 - 21^2) + √(34^2 - 21^2) =
= 12*√11 + √715 > √(34^2 + 45^2)
perciò ABC è ottusangolo in C (0 < α, β < π/2; π/2 < γ < π).
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Quindi
* p = a + b + c = 34 + 45 + 12*√11 + √715 ~= 145.5 cm
* S = (12*√11 + √715)*21/2 ~= 698.66 cm^2
Vedi il grafico e il paragrafo "Properties" al link
http://www.wolframalpha.com/input?i=triangle+34%2C45%2C12*%E2%88%9A11%2B%E2%88%9A715
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Dal teorema dei seni si ha
* a/sin(α) = b/sin(β) = c/sin(π - (α + β)) ≡
≡ 34/sin(α) = 45/sin(β) = (12*√11 + √715)/sin(α + β)
Con le condizioni restrittive si forma il sistema che dà gli angoli acuti
* (34/sin(α) = 45/sin(β)) & (45/sin(β) = (12*√11 + √715)/sin(α + β)) & (0 < α < π/2) & (0 < β < π/2) ≡
≡ (α = 2*arctg((15 - 4*√11)/7) ~= 27° 49' 5'') & (β = 2*arctg((34 - √715)/21) ~= 38° 8' 40'')
da cui l'angolo ottuso
* γ = π - (α + β) =
= π - (2*arctg((15 - 4*√11)/7) + 2*arctg((34 - √715)/21)) ~= 114° 2' 14''