problema piano cartesiano

Ciao. Buon nuovo anno!

Il triangolo ABC è isoscele perché i punti B e C hanno la stessa ordinata (=3) e l'ascissa di A è la media delle ascisse di B e C: 1/2·(- 1/2 + 5/2) = 1

BC=5/2 + 1/2 = 3    AB=AC=√((- 1/2 - 1)^2 + (3 - 2)^2) = √13/2

Quindi: 2p=perimetro=3 + 2·√13/2 = √13 + 3

h=altezza triangolo isoscele=3-2=1

Area=1/2*BC*h=1/2*3*1 =3/2

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L'equazione della circonferenza si scrive:

x^2 + y^2 + a·x + b·y + c = 0

Le costanti si determinano con il sistema:

{1^2 + 2^2 + a·1 + b·2 + c = 0

{(- 1/2)^2 + 3^2 + a·(- 1/2) + b·3 + c = 0

{(5/2)^2 + 3^2 + a·(5/2) + b·3 + c = 0

Quindi:

{a + 2·b + c = -5

{a/2 - 3·b - c = 37/4

{5·a/2 + 3·b + c = - 61/4

che fornisce soluzione:

[a = -2 ∧ b = - 29/4 ∧ c = 23/2]

da cui le coordinate del centro:

{α = 1

{β = 29/8

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Il raggio della circonferenza circoscritta è.

R = √(1^2 + (29/8)^2 - 23/2) = 13/8

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Il raggio della circonferenza inscritta è:

r=2*area/perimetro=2·(3/2)/(√13 + 3) = 3·√13/4 - 9/4

r=3·(√13 - 3)/4

a) Calcoli le misure dei tre lati

AB = sqrt [ (1 + 1/2)^2 + (2 - 3)^2 ] = sqrt (9/4 + 1) = 1/2 sqrt(13)

AC = sqrt [ (1 - 5/2)^2 + (2 - 3)^2 ] = sqrt (9/4 + 1) = 1/2 sqrt (13)

AB = AC e il triangolo é isoscele con base

BC = sqrt [( -1/2 - 5/2 )^2 + (3 - 3)^2 ] = 3

2p = AB + AC + BC = 2*1/2 sqrt (13) + 3 = 3 + sqrt(13)

h^2 = AB^2 - (BC/2)^2 = 13/4 - 9/4 = 4/4 = 1 => h = 1

S = BC*h/2 = 3 * 1/2 = 3/2

b) per determinare il circocentro E puoi intersecare due assi

ovvero risolvere il sistema lineare

(x - 1)^2 + (y - 2)^2 = ( x + 1/2 )^2 + (y - 3)^2

(x - 1)^2 + (y - 2)^2 = ( x - 5/2 )^2 + (y - 3)^2

Riducendo gli x^2 e gli y^2

- 2x + 1 - 4y + 4 = x + 1/4 - 6y + 9

- 2x + 1 - 4y + 4 = - 5x + 25/4 - 6y + 9

sottraendo la I dalla II

0 = - 6x + 24/4 => 6x = 6 => x = 1

e per sostituzione si ha infine

- 2 + 1 - 4y + 4 = 1 + 1/4 - 6y + 9

6y - 4y = 2 - 1 - 4 + 1 + 1/4 + 9

2y = 29/4

y = 29/8

E = (1; 29/8)

c) il raggio della circonferenza inscritta é dato da

r = 2S/P = 3/(3 + sqrt(13)) = 3(3 - sqrt(13))/(9 - 13) = -3/4 * (3 - sqrt(13)) =

= 3/4 * (sqrt(13) - 3)

il raggio della circonferenza circoscritta é invece

R = abc/(4S) = 13/4 * 3/(4 * 3/2) = 13/4 * 1/2 = 13/8

Dalle coordinate dei vertici
* A(1, 2), B(- 1/2, 3), C(5/2, 3)
si vede che il lato BC è sulla y = 3 e il suo punto medio M((- 1/2 + 5/2)/2, 3) = (1, 3) ha la stessa ascissa di A; ciò dimostra che ABC è isoscele sulla base BC con altezza AM. Con |AM| = 1 e |BC| = 3 si ha l'area S = 3/2.
Per avere il perimetro p serve calcolare |AB| = |AC| = √13/2, da cui p = √13 + 3.
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Le coordinate del circumcentro E(x, y) e il circumraggio R sono la soluzione del sistema che realizza la definizione «il circumcentro E è l'unico punto del piano equidistante dai vertici e la comune distanza è il circumraggio R»
* |EA|^2 = |EB|^2 = |EC|^2 = R^2 ≡
≡ E(1, 29/8), R = 13/8
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Poiché l'incentro I è l'unico punto del piano equidistante dai lati e la comune distanza è l'inraggio r, e quindi I è anche il vertice comune ai tre triangoli isosceli con basi i lati che scompongono l'intero ABC, allora il valore dell'inraggio si ricava da area S e perimetro p
* r = 2*S/p = 2*(3/2)/(√13 + 3) = (3/4)*(√13 - 3)