[Risolto] Problema parabola e ellisse

Riconoscere una conica

a·x^2 + b·x·y + c·y^2 + d·x + e·y + f = 0

Bisogna calcolare il

Δ = b^2 - 4·a·c

Se risulta:

Δ < 0 la conica è un'ellisse

Δ = 0 la conica è una parabola

Δ > 0 la conica è un'iperbole

inoltre, se è un'iperbole e risulta:

a + c = 0 è un'iperbole equilatera

Se dovesse risultare:

a = c ∧ b = 0 la conica è una circonferenza (particolare ellisse)

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Nel nostro caso:

a = k - 1

b = 0

c = k

d = -2

e = -2

f = -1

poi

Δ = b^2 - 4·a·c

Parabola

Δ = 0---> Δ = 0^2 - 4·(k - 1)·k

Δ = 4·k·(1 - k)----> 4·k·(1 - k) = 0--> k = 1 ∨ k = 0

In particolare:

(1 - 1)·x^2 + 1·y^2 - 2·x - 2·y - 1 = 0

- 2·x + y^2 - 2·y - 1 = 0----> x = y^2/2 - y - 1/2

(ad asse orizzontale)

(0 - 1)·x^2 + 0·y^2 - 2·x - 2·y - 1 = 0

- x^2 - 2·x - 2·y - 1 = 0--> y = - x^2/2 - x - 1/2

(ad asse veriticale)

Ellisse

4·k·(1 - k) < 0----> k < 0 ∨ k > 1

L'equazione di una parabola è caratterizzata dal avere una sola variabile di grado 2. Perciò:

- se annulliamo il termine (k-1)x^2 avremo una parabola del tipo x = ...... cioè con l'asse parallelo al asse x. In questo caso deve essere k - 1 = 0 e quindi k =1.

- se annulliamo il termine ky^2 avremo una parabola del tipo y = .........  con l'asse parallelo al asse y. In questo caso dovrà essere k = 0.

L'equazione di un'ellisse è caratterizzata dal avere i coefficienti di x^2 ed y^2 concordi - diversamente dall'iperbole, che li ha discordi - perciò si deve studiare il segno di k-1 e k, che siano assieme >0 o assieme <0.
Si ottiene  k>1 e k<0.

Ciao 🙂 

Il fascio di coniche
* Γ(k) ≡ (k - 1)*x^2 + k*y^2 - 2*x - 2*y - 1 = 0
genera parabole per i valori di k in grado di ridurre l'equazione alla forma
* Γp ≡ (u*x + v*y)^2 + a*x + b*y + c = 0
e l'assenza da Γ(k) del termine rettangolare in x*y restringe i casi a (u = 0) oppure (v = 0) cioè
* Γ(0) ≡ y = (- x^2 - 2*x - 1)/2
* Γ(1) ≡ x = (+ y^2 - 2*y - 1)/2
http://www.wolframalpha.com/input?i=%5By%3D%28-x%5E2-2*x-1%29%2F2%2Cx%3D%28y%5E2-2*y-1%29%2F2%5Dx%3D-9to9%2Cy%3D-9to9
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Per k ∉ {0, 1} sono lecite le seguenti equivalenze.
* Γ(k) ≡ (k - 1)*x^2 + k*y^2 - 2*x - 2*y - 1 = 0 ≡
≡ (k - 1)*(x^2 - 2*x/(k - 1)) + k*(y^2 - 2*y/k) - 1 = 0 ≡
≡ (k - 1)*((x - 1/(k - 1))^2 - (1/(k - 1))^2) + k*((y - 1/k)^2 - (1/k)^2) - 1 = 0 ≡
≡ (k - 1)*(x - 1/(k - 1))^2 + k*(y - 1/k)^2 - (k - 1)*(1/(k - 1))^2 - k*(1/k)^2 - 1 = 0 ≡
≡ ((k - 1)*x - 1)^2/(k - 1) + (k*y - 1)^2/k = (k^2 + k - 1)/((k - 1)*k) ≡
≡ (k - 1)*(x - 1/(k - 1))^2 + k*(y - 1/k)^2 = (k^2 + k - 1)/((k - 1)*k)
Su quest'ultima forma si pone una distinzione di casi.
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Per k = (- 1 ± √5)/2 si hanno coniche degeneri sul centro C(1/(k - 1), 1/k)
* Γ(k) ≡ (k - 1)*(x - 1/(k - 1))^2 + k*(y - 1/k)^2 = 0
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Per k != (- 1 ± √5)/2 si divide membro a membro per il secondo membro
* Γ(k) ≡ (x - 1/(k - 1))^2/(k/(k^2 + k - 1)) + (y - 1/k)^2/((k - 1)/(k^2 + k - 1)) = 1
ottenendo la forma normale standard delle coniche a centro non ruotate, con quattro sottocasi secondo i segni dei denominatori (zeri esclusi: k ∉ {(- 1 - √5)/2, 0, (- 1 + √5)/2, 1}).
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0) (k/(k^2 + k - 1) < 0) & ((k - 1)/(k^2 + k - 1) < 0) ≡
≡ k < (- 1 - √5)/2 ≡
≡ ellisse con semiassi immaginarî
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1) (k/(k^2 + k - 1) < 0) & ((k - 1)/(k^2 + k - 1) > 0) ≡
≡ 0 < k < (- 1 + √5)/2 ≡
≡ iperbole con fuochi sull'asse parallelo all'asse y
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2) (k/(k^2 + k - 1) > 0) & ((k - 1)/(k^2 + k - 1) < 0) ≡
≡ (- 1 + √5)/2 < k < 1 ≡
≡ iperbole con fuochi sull'asse parallelo all'asse x
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3) (k/(k^2 + k - 1) > 0) & ((k - 1)/(k^2 + k - 1) > 0) ≡
≡ k > 1 ≡
≡ ellisse con semiassi reali, con tre sottosottocasi
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3a) (k/(k^2 + k - 1) < (k - 1)/(k^2 + k - 1)) & (k > 1) ≡
≡ impossibile ≡
≡ nessuna ellisse reale con fuochi sull'asse parallelo all'asse y
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3b) (k/(k^2 + k - 1) = (k - 1)/(k^2 + k - 1)) & (k > 1) ≡
≡ impossibile ≡
≡ nessuna circonferenza
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3c) (k/(k^2 + k - 1) > (k - 1)/(k^2 + k - 1)) & (k > 1) ≡
≡ k > 1 ≡
≡ ellisse reale con fuochi sull'asse parallelo all'asse x