[Risolto] Problema parabola

Metti a sistema la parabola con la retta y=k. Determini la differenza delle soluzioni in x e la poni uguale a k.

{y = - 1/4·x^2 + x + 3

{y = k

Lo risolvi ed ottieni:

[x = 2·(√(4 - k) + 1) ∧ y = k, x = 2·(1 - √(4 - k)) ∧ y = k]

Quindi fai la differenza e la poni pari a k:

2·(√(4 - k) + 1) - 2·(1 - √(4 - k)) = k

4·√(4 - k) = k

la risolvi ed ottieni:

k = 8·√2 - 8

che risolve il problema

Ogni parabola con asse di simmetria parallelo all'asse y, zeri in (- 2, 0) e in (6, 0) e concavità verso y < 0 ha equazione della forma
* y = - a*(x + 2)*(x - 6)
Ogni parabola con asse di simmetria parallelo all'asse y, concavità verso y < 0 e vertice V(2, 4) ha equazione della forma
* y = 4 - a*(x - 2)^2
quindi da
* 4 - a*(x - 2)^2 = - a*(x + 2)*(x - 6)
si ha
* a = 1/4
* p(x) = y = 4 - (x - 2)^2/4
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Il richiesto quadrato inscritto deve avere come asse di simmetria quello della parabola quindi ha vertici
* A(2 - k, 0), B(2 + k, 0), C(2 + k, p(2 + k)), D(2 - k, p(2 - k))
con l'ulteriore clausola restrittiva —oltre all'ovvia 0 < k < 4— che, per essere quadrato e non rettangolo, si deve avere
* p(2 - k) = p(2 + k) = 4 - k^2/4 = 2*k
da cui
* (4 - k^2/4 = 2*k) & (0 < k < 4) ≡ k = 4*(√2 - 1) ~= 1801/1087 ~= 5/3
* p(2 ± k) = 2*k = 8*(√2 - 1)
* 2 - k = 2*(3 - 2*√2)
* 2 + k = 2*(2*√2 - 1)
* A(2*(3 - 2*√2), 0), B(2*(2*√2 - 1), 0), C(2*(2*√2 - 1), 8*(√2 - 1)), D(2*(3 - 2*√2), 8*(√2 - 1))