a. Dopo aver opportunamente semplificato i coefficienti, risolvi in $C$ l'equazione:
$$
\left[\left(-\frac{1}{\sqrt{3}+i}+\frac{1}{\sqrt{3}-i}+\frac{1}{2}\right):(i+1)\right] z^4-2(1+i)^4=0 .
$$
b. Calcola $z_1 \cdot z_2 \cdot z_3 \cdot z_4$.
c. Scrivi le soluzioni in forma esponenziale. $\quad[$ a) $\sqrt{2}(1 \pm i), \sqrt{2}(-1 \pm i) ;$ b) $16 ;$ c $\left.) 2 e^{i k \frac{\pi}{4}}, \operatorname{con} k=1,3,5,7\right]$
Buonasera, qualcuno riuscirebbe ad aiutarmi a risolvere questo problema
31
punti
Livello 0
Nella mia precedente risposta a un analogo problema
http://www.sosmatematica.it/forum/postid/66868/
t'avevo scritto, fra l'altro, una
«NOTA
Le k radici k-me di un qualsiasi "c", complesso o reale, sono i vertici di un k-agono regolare inscritto nella circonferenza "x^2 + y^2 = |c|^(2/k)" ruotato in modo che il primo vertice sia w[0] con modulo |c|^(1/k) e anomalia 1/k di quella di "c", e le successive radici distanziate di 1/k di giro.
»
che, evidentemente, tu non hai letto se pubblichi questa domanda.
Qui i dati sono
* k = 4
* c = 2*(1 + 1)^4/((- 1/(√3 + i) + 1/(√3 - i) + 1/2)/(i + 1)) = 64 = 2^6
ottenuti da
* ((- 1/(√3 + i) + 1/(√3 - i) + 1/2)/(i + 1))*z^4 - 2*(1 + 1)^4 = 0 ≡
≡ z^4 = 64
---------------
Quindi
Le 4 radici quarti di 2^6, reale, sono i vertici di un quadrato inscritto nella circonferenza "x^2 + y^2 = (2^6)^(2/4) = 8" ruotato in modo che il primo vertice sia w[0] con modulo (2^6)^(1/4) = √8 e anomalia 1/4 di quella di "c" (θ = 0), e le successive radici distanziate di 1/4 di giro.
In conclusione le radici sono le intersezioni degli assi con la circonferenza
* (x*y = 0) & (x^2 + y^2 = 8) ≡ (± 1 ± i)*√2
ovvero
* (√8)*e^(i*k*π/2) per k in [0, 3]
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