[Risolto] Problema n.61

Questo è un esercizio di cinematica sul moto parabolico del punto materiale, non un esercizio di balistica sul moto di un proiettile (a meno che quel ragazzo non sia David che si allena il giorno prima di far fuori Golia). Quindi lascio perdere ragazzo e sasso e mi occupo del punto materiale.
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Un punto materiale lanciato dal punto Y(0, h) con velocità di modulo V e alzo θ (con V > 0 e θ in [- π/2, π/2]) in un campo gravitazionale con accelerazione negativa di modulo g > 0 ha la posizione istantanea P(x, y) data da
* x(t) = V*cos(θ)*t
* y(t) = h + (V*sin(θ) - (g/2)*t)*t
e la velocità istantanea v(t) = (vx(t), vy(t)) data da
* vx(t) = V*cos(θ)
* vy(t) = V*sin(θ) - g*t
La traiettoria percorsa si ricava eliminando il parametro tempo dalle equazioni delle coordinate.
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Con il valore standard SI per g, e con i dati del testo
* g = 9.80665 = 196133/20000 m/s^2
* h = 48 m
* V = 7 m/s
* θ = 0
si ha
* x(t) = 7*t
* y(t) = 48 - (196133/40000)*t^2
da cui la traiettoria
* Γ ≡ y = 48 - (28019/280000)*x^2
e le componenti della velocità
* vx(t) = 7 m/s
* vy(t) = - (196133/20000)*t
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RISPOSTE AI QUESITI
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a) "Dopo quanto tempo il sasso raggiunge l'acqua?"
La quota si azzera nell'istante T > 0 radice dell'equazione
* y(T) = 48 - (196133/40000)*T^2 = 0 ≡
≡ T^2 = 48/(196133/40000) = 1920000/196133 ≡
≡ T = √(1920000/196133) = 800*√588399/196133 ~= 3.12878 ~= 3.129 s
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b) "Quanto vale la componente verticale vy(T)?"
* vy(T) = - (196133/20000)*800*√588399/196133 = - √588399/25 ~= - 30.682868 ~= - 30.683 m/s
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c) "Quanto vale v(T)?"
* v(T) = √((vx(T))^2 + (vy(T))^2) =
= √(7^2 + (- √588399/25)^2) =
= √(619024/625) = (4/25)*√38689 ~= 31.471 m/s

@emma_aimi

In assenza di forze dissipative, l'energia potenziale gravitazionale iniziale e l'energia cinetica iniziale si trasformano completamente in energia cinetica nel punto di contatto con l'acqua. Quindi:

(1/2)*m*v_i² + mgh = (1/2)*m*v_f²

Da cui si ricava la velocità finale:

v= radice (v_i² + 2gh)

Sostituendo i valori numerici otteniamo:

v= 31,47 m/s

Il ragazzo si muove di 

1)moto rettilineo uniforme lungo l'asse x con velocità costante vx= 7 m/s

2)moto rettilineo uniformemente accelerato lungo l'asse y con v0_y=0

Nota la velocità finale, il modulo di vy nel punto di contatto con l'acqua è:

|vf_y|= radice (v² - vx²) =radice (31,47² - 7²) = 30,68 m/s

Quindi vf_y = - 30,68 m/s 

Dalla legge oraria della velocità, con v0_y=0 possiamo ricavare il tempo t

t = |vf_y|/g = 30,68/9,806 = 3,12 s

a)   accade quando la quota arriva a zero

h - 1/2 gt^2 = 0    => t = rad(2h/g) = rad(48/4.903) s = 3.13 s

b) 0 + g t    = gt   =>  v* = g t* = 9.806*3.13 m/s = 30.69 m/s

c) v = 7 i - 30.69 j    m/s

v = rad(7^2 + 30.69^2) m/s = 31.48 m/s = 113.33 km/h

e la direzione é data da teta = arctg* (vy/vx) = -77.15° 

tempo di caduta t = √2h/g = √96/9,806 = 3,1289 sec 

Vy = g*t = -9,806*3,1289 = -30,68 m/sec 

V = √Vo^2+2gh = √7^2+19,612*48 = 31,47 m/sec 

angolo = arctan Vy/Vo = -77,15°