L'oggetto misterioso Il nonno di Elisa era un abile falegname e designer: inventava oggetti e li costruiva da sé, e si dilettava anche in matematica. Elisa ritrova in un suo vecchio taccuino le formule
$$
x^2+y^2-0,12 z^2-9=0, \quad z=0, \quad z=15,
$$
senza altre indicazioni. Aiuta Elisa a capire cosa rappresentano le formule trovate e se è possibile costruire un portamatite. Calcola il volume che occupa, supponendo che l'unità di misura sia il centimetro. $\left[\simeq 848,2 cm ^3\right]$
4208
punti
Livello 2
Se fissi z
x^2 + y^2 = 0.12 z^2 + 9
é una sezione circolare di raggio crescente in [0, 15]
per cui é un solido di rivoluzione con profilo r-z (credo) iperbolico
S(z) = pi R^2(z) = pi (9 + 0.12 z^2)
Con il metodo dei dischi allora dV = pi (9 + 0.12 z^2) dz
V = pi S_[0,15] (9 + 0.12 z^2) dz =
= pi [ 9z + 0.04 z^3 ]_[0,15] =
= pi [ 135 + 0.04 * 3375 ] =
= 270 pi cm^3 = 848.230 cm^3
45401
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Livello 7
Ma sì, che è possibile, con il tronco d'iperboloide monofalda descritto da
* (x^2 + y^2 - 0.12*z^2 - 9 = 0) & ((z = 0) oppure (z = 15))
troncato dal piano di gola (base d'appoggio piena per z = 0: un cerchio di raggio r(0) = 3) al piano z = 15 (base di culmine vuota, per infilarci le matite: un cerchio di raggio r(15) = 6).
Infatti
* (x^2 + y^2 - (3/25)*z^2 - 9 = 0) & (0 <= z <= 15) ≡
≡ z = (5/√3)*√(x^2 + y^2 - 9)
* 15 = (5/√3)*√(x^2 + y^2 - 9) ≡ x^2 + y^2 = 6^2
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Da
* x^2 + y^2 - (3/25)*z^2 - 9 = 0 ≡ x^2 + y^2 = 9 + (3/25)*z^2 = r^2
si ha l'area S(z) delle sezioni parallele alla base d'appoggio
* S(z) = π*r^2 = π*(9 + (3/25)*z^2)
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Il volume V disponibile per le matite è, ovviamente,
* V = π*∫ [z = 0, 15] (9 + (3/25)*z^2)*dz = 270*π ~= 848.23
Infatti
* F(z) = ∫ (9 + (3/25)*z^2)*dz = z^3/25 + 9*z + c
* I(s, d) = F(d) - F(s) = (d - s)*(d^2 + d*s + s^2 + 225)/25
da cui
* I(0, 15) = 270
57150
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Genius I
