[Risolto] Un barista vuole impilare, a piramide, ...

Formula di Gauss:

somma di n numeri: 1 + 2 + 3 + 4 + 5 +...+ n

n * ( n + 1) / 2 = Somma;

 n = numero di bottiglie alla base della piramide. (Prima fila in basso).

Si scala di 1 fino ad arrivare a una sola bottiglia sull'estremità in alto, le sommiamo tutte.

Proviamo con n = 12 bottiglie nella  base:

12 * 13/2 = 78 bottiglie; (totale bottiglie impilate, troppo poche);

proviamo con 13 bottiglie nella  base:

13 * 14/2 = 91 bottiglie in totale; quasi ci siamo.

14 * 15/2 = 105 bottiglie totali impilate; 5 bottiglie in più.

Allora con 100 bottiglie non si può fare la piramide, infatti:

n * (n + 1) / 2 = 100;

n^2 + n = 200;

n^2 + n - 200 = 0;

n = [-1 +- radice(1 + 4 * 200)]/2;

n = [-1 +- radice(801)]/2,    [non ha soluzione intera].

Bisogna aggiungere x bottiglie.

100 + x bottiglie; per avere una soluzione intera, troviamo x:

n * (n + 1) / 2 = 100 + x;

n^2 + n - (200 + 2x) = 0

n = [-1 +- radice(1 + 4 * (200 + 2x) )]/2;

radice(1 + 800 +8x) = radice(801 + 8x);

801 + 8x = quadrato perfetto.

Il più vicino è 29^2 = 841;

801 + 8x = 841;

x = (841 - 801) / 8 = 40/8 = 5 bottiglie da aggiungere alle 100 da impilare.

n = [-1 +- radice(1 + 4 * (200 + 2*5) )]/2;

n = [-1 +- radice(841)]/2;

n = [-1 +- 29] /2;

n = [- 1 + 29] /2 ; (soluzione positiva);

n = 28/2 = 14 bottiglie alla base della piramide.

@beppe  ciao

SPIEGAZIONE DELL'ARGOMENTO
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x è il numero triangolare d'ordine n se e solo se 8*x + 1 è quadrato perfetto; in tal caso n è la radice triangolare di x
* x = T(n) = n*(n + 1)/2 ≡ n = x^(1/Δ) = (√(8*x + 1) - 1)/2
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ESERCIZIO n° 384
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A) "E' possibile impilare ESATTAMENTE 100?" ≡ 100 = T(n)?
* n = 100^(1/Δ) = (√(8*100 + 1) - 1)/2 ~= 13.65
NO, non è possibile.
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B) "numero minimo di base"
* 14 = ceil[100^(1/Δ)], il minimo naturale non minore di 13.65
infatti T(14) = 14*15/2 = 105 > 100
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C) "quante per completare" ≡ 105 - 100 = 5

https://www.sosmatematica.it/forum/domande/problema-di-matematica-con-equazioni-di-secondo-grado/

Ciao @beppe

prova a vedere al link di sopra