Problema n. 165 su segmenti circolari

Quanti sono i segmenti circolari ? Non è chiaro 

triangolo equilatero :

OH = 2k*0,5 = k

AB = 2k√3 /2 = k√3

area triangolo AOB = k√3*k/2 = k^2*√3 /2

area segmento AB :

k^2*(4π/3-√3 /2)

quadrato

OH' = k√2

PQ = 2k√2

area triangolo POQ = (k√2*2k√2)/2 = 2k^2 

area segmento PQ :

k^2*π/3-2k^2 = k^2*(π-2)

Un disegno:

Calcolo area segmento circolare a base lato triangolo equilatero inscritto B'C'

Α = 1/2·L·r = area di un settore circolare in generale

L= lunghezza arco relativo = 2·pi·r/3

con r = 2·k: 

A = 1/2·(2·pi·(2·k)/3)·(2·k)= 4·pi·k^2/3

a cui si deve togliere l'area A(AB'C')

B'C'=√3·r

altezza relativa=r/2

A(AB'C')=1/2·(√3·r)·r/2=√3·r^2/4

con r = 2·k:

A(AB'C') = √3·(2·k)^2/4 = √3·k^2

Quindi si ottiene:

4·pi·k^2/3 - √3·k^2 = k^2·(4·pi/3 - √3)

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Calcolo area segmento circolare a base quadrata

L= lunghezza arco relativo = 2·pi·r/4

A = 1/2·(2·pi·r/4)·r= pi·r^2/4

con r = 2k: A = pi·k^2

BC = √2·r

A(ABC) = 1/2·(√2·r)·(√2·r/2)= r^2/2=

con k = 2r : A(ABC) = 2·k^2

Quindi si ottiene:

pi·k^2 - 2·k^2 = k^2·(pi - 2)

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Segmento circolare a due basi

Si ottiene per differenza:

k^2·(4·pi/3 - √3) - k^2·(pi - 2) = k^2·(pi/3 - √3 + 2)

Ancora non ho fatto in tempo a rassegnarmi alle tue fetenti foto inclinate e contorte, che tu ti superi allegando questa che è inclinata, contorta e pure sfocata. Ad maiora! Ma vacci piano, abbi pietà, dacci il tempo necessario.
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L'area del segmento circolare a due basi, entrambe dalla stessa parte del centro, è la differenza fra quelle dei segmenti circolari a una base basati su ciascuna delle due corde.
L'area S del segmento circolare a una base vista dall'angolo al centro θ in un cerchio di raggio R è
* S(R, θ) = (θ - sin(θ))*R^2/2
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Il circumraggio R del triangolo equilatero di lato T è il rapporto fra il cubo del lato e il quadruplo dell'area
* R = T^3/(4*(√3/4)*T^2) = T/√3 ≡ T = (√3)*R
quindi 2*R è la diagonale del quadrato inscritto il cui lato è Q = 2*R/√2 = (√2)*R.
Per R = 2*k > 0 si ha T = (2*√3)*k e Q = (2*√2)*k, con 0 < Q < T < diametro.
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Gli angoli al centro che insistono sulle due corde sono
* su Q: 90° = π/2
* su T: 120° = 2*π/3
da cui l'area richiesta
* S = S(2*k, 2*π/3) - S(2*k, π/2) =
= (2*π/3 - sin(2*π/3))*(2*k)^2/2 - (π/2 - sin(π/2))*(2*k)^2/2 =
= (2 - √3 + π/3)*k^2 ~= 1.315*k^2
che non posso confrontare con lo sfocatissimo risultato atteso.