[Risolto] PROBLEMA MATEMATICA URGENTE

Ciao! 

Allora, il quadrilatero è un trapezio rettangolo.

Troviamo la base maggiore: consideriamo il triangolo $OSP$, noi conosciamo $OP$ che corrisponde al raggio (quindi, poiché il diametro è $AB = 24$): $OP = 12$.

Per usare i teoremi del seno e del coseno dobbiamo assicurarci di star lavorando con un triangolo rettangolo. E' così? Sì, perché il raggio è sempre perpendicolare alla tangente, quindi $OSP$ è rettangolo in $P$.

Allora per trovare $OS$ possiamo usare il teorema del coseno:

$OS \cdot \cos(S\hat{O} P)  = PO$

non abbiamo il dato del coseno, ma possiamo ricavarlo dal dato del seno:
$\cos(S\hat{O} P) = \sqrt{ 1 - \sin^2(S\hat{O} P)} = \sqrt{ 1- (\frac35)^2} = \sqrt{ 1-\frac{9}{25}} = \sqrt{ \frac{16}{25} } = \frac45 $

quindi

$ OS = \frac{12}{\frac45} = \frac{12}{4} \cdot 5 = 15 $

Possiamo trovare anche $SP$ con il teorema del seno, anche se non ci tornerà utile proviamo lo stesso:

$SP \cdot \sin(S\hat{O} P)  = PO$

quindi

$ SP = \frac{12}{\frac35} = \frac{12}{3} \cdot 5 = 20 $

Tracciamo adesso la parallela ad $AB$ passante per $T$. Essa è ancora perpendicolare a $OS$ (perché è parallelela) e la interseca in un nuovo punto che possiamo chiamare $K$ . Forma un triangolo rettangolo $KST$ che ha un angolo che conosciamo, cioè $K\hat{S} P$. O meglio, possiamo ricavarlo perché fa parte del triangolo considerato in precedenza:

$ SO \sin (O \hat{S} P) = OP  \Rightarrow \sin(O \hat{S} P) =\frac{OP}{OS} =\frac{12}{15} = \frac45 $ 

quindi $\sin (K \hat{S} P ) = \frac45 $

possiamo finalmente calcolare $ST $:

$ST\sin (K \hat{S} P ) = TK $

Osserviamo che $TK = BO = 12$ quindi

$ ST = \frac{12}{\frac45} = \frac{12}{4} 5 = 15 $

Ricaviamo anche la misura $SK$:

$ST \cos (K \hat{S} P ) = SK$

ma $\cos (K \hat{S} P )  = \sqrt{ 1 - (\sin (K \hat{S} P ))^2} = \sqrt{ 1 - (\frac45)^2} =  \frac35 $

quindi 

$SK = 15 \cdot \frac35 = 9 $

$SK$ ci serve per trovare la lunghezza della base minore, cioè $TB$

infatti $ SO - SK$ ci dà proprio la lunghezza di $TB$:

$SO - SK = 15-9 = 6$

Possiamo calcolare il perimetro:

$SO + ST + TB + AB = 15+15+6+12 = 48 $ 

e l'area:

$ \frac{(SO + TB) \cdot AB}{2} = \frac{21 \cdot 12}{2} = 126$

Questo è un classico : non sapere ciò che si vuole , ma volerlo subito 😁

Gia' risolto in altra domanda.