Più che un esercizio sembra un tema d'esame —o, almeno, di un compito a fine periodo— per quanti problemi pone e di tipo diverso: classificazione delle coniche, fascio di ellissi, domanda trabocchetto, fascio di parabole, fascio di rette, dis/equazione parametrica di secondo grado!
Ovviamente, quasi tutti i simboli che si ritrovano in problemi diversi hanno significati diversi, tranne "k" che ovunque significa "parametro".
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1) Ogni ellisse con i fuochi sull'asse y ha equazione riducibile alla forma
* Γ ≡ (x/a)^2 + ((y - β)/b)^2 = 1
in cui ci sono tre parametri: semiassi (b > a > 0) e coordinate del centro C(0, β).
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L'equazione data
* (k - 3)*x^2 + (k - 6)*y^2 = (k - 3)
per k = 3 rappresenta la parabola degenere in una coppia di parallele coincidenti con l'asse x; per k != 3 sono lecite le seguenti equivalenze.
* (k - 3)*x^2 + (k - 6)*y^2 = (k - 3) ≡
≡ x^2 + ((k - 6)/(k - 3))*y^2 = 1 ≡
≡ x^2/1^2 + y^2/((k - 3)/(k - 6)) = 1
a quest'ultima forma si applica il vincolo imposto dalla condizione richiesta
* b > a > 0 ≡ √((k - 3)/(k - 6)) > 1 ≡ k > 6
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2) Nel fascio d'ellissi definito da
* Γe(k) ≡ (x^2 + y^2/((k - 3)/(k - 6)) = 1) & (k > 6)
quella a cui appartiene il punto (1/2, √3) si determina da
* ((1/2)^2 + (√3)^2/((k - 3)/(k - 6)) = 1) & (k > 6) ≡ k = 7
ed è
* Γ(7) ≡ x^2 + y^2/4 = 1
con vertici (nominati in senso antiorario, con A di ascissa positiva)
* A(1, 0), B(0, 2), C(- 1, 0), D(0, - 2)
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3) "a" è la "domanda trabocchetto", intesa a dare un voto premiale a chi non cade nel trabocchetto.
Chiedere "l'area del quadrato inscritto nell'ellisse con i lati paralleli agli assi cartesiani" equivale a chiedere di trovare il rettangolo (vertici in simmetria quadrantale, diagonali congruenti) che sia anche rombo (diagonali ortogonali); cioè con vertici le intersezioni fra l'ellisse e le diagonali dei quadranti!
Dai vertici
* (y^2 = x^2) & (x^2 + y^2/4 = 1) ≡ V(± 2/√5, ± 2/√5)
si ha l'area
* S = (4/√5)^2 = 16/5
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4) Il fascio da cui trarre la parabola richiesta, con vertice in A(1, 0) e passante per B(0, 2) e D(0, - 2), è
* Γp(k) ≡ x = 1 + a*y^2
e, stante la simmetria, per determinare l'apertura "a", basta un solo vincolo d'appartenenza
* 0 = 1 + a*2^2 ≡ a = - 1/4
da cui
* Γp(- 1/2) ≡ x = 1 - y^2/4
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5) Il fascio
* s(k) ≡ 4*k*x + k*y = k - 4 ≡ 4*k*x + k*y - (k - 4) = 0
ha i casi particolari
5a) s(0) ≡ 4 = 0 ≡ impossibile → (k != 0)
5a) s(4) ≡ y = - 4*x
e il caso generale, per k != 0,
* s(k) ≡ y = (1 - 4/k) - 4*x
che lo classifica come fascio improprio di pendenza m = - 4 e intercetta q = (1 - 4/k).
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Le s(k) per A(1, 0) e per B(0, 2) hanno le intercette, che le determinano, date da
* per A(1, 0): 0 = (1 - 4/k) - 4*1 ≡ k = - 4/3 → s(- 4/3) ≡ y = 4 - 4*x
* per B(0, 2): 2 = (1 - 4/k) - 4*0 ≡ k = - 4 → s(- 4) ≡ y = 2 - 4*x
da cui i richiesti valori di k
* - 4 <= k <= - 4/3
Vedi al link
http://www.wolframalpha.com/input?i=%5By%5E2%2F4%3D1-x%5E2%2Cx%3D1-y%5E2%2F4%2C%284-4*x-y%29*%282-4*x-y%29%3D0%5D
