IN GARA Gabriella scrive una successione di 10 numeri (eventualmente negativi), in modo che ciascun numero della successione, dal terzo in poi, sia la somma dei due che lo precedono. Il primo numero della successione è 34 , mentre l'ultimo è 0 . Quanto vale la somma di tutti i numeri della successione?
A $-34$
B 0
C 22
D 68
E 88
[Giochi di Archimede, 2011]
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Livello 1
Buona sera.°
Costruisco la tabella:
1° NUMERO : 34=-34x
2° NUMERO: 21x
3° NUMERO: -13x
4° NUMERO: 8x
5°NUMERO: -5x
6° NUMERO: 3x
7° NUMERO : -2x
8° NUMERO: x
9° NUMERO:-x
10°NUMERO: 0
Mi concentro sugli ultimi 3 numeri e procedo a ritroso. x ≠ 0
Il 7° deve essere -2x affinché il 9° sia -x
Il 6° deve essere 3x affinché l'8° sia x
Il 5° deve essere -5x affinché il 7° sia 2x
Il 4° deve essere 8x affinché il 6° sia 3x
Il 3° deve essere -13x affinché il 5° sia -5x
Il 2° deve essere 21 x affinché il 4° sia 8x
Il primo deve essere -34x affinché il 3° sia -13x
Quindi: x=-1
La tabella finale è:
1° NUMERO : 34
2° NUMERO: -21
3° NUMERO: 13
4° NUMERO: -8
5°NUMERO: 5
6° NUMERO: -3
7° NUMERO : 2
8° NUMERO: -1
9° NUMERO: 1
10°NUMERO: 0
La somma di tutti i numeri è:
34 - 21 + 13 - 8 + 5 - 3 + 2 - 1 + 1 + 0 = 22
Risposta corretta C
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Genius II
@lucianop 👍👍 smart !!!
Considero l'ultimo numero della sequenza che è zero. Posso allora dire che il penultimo e il terzultimo saranno sicuramente opposti essendo la loro somma nulla. Siano quindi a, - a il penultimo e il terzultimo numero.
Stesso ragionamento per tutti i 10 numeri della sequenza.
Scriviamo a rovescio la successione di numeri (zero è l'ultimo e 34a il primo)
0, a, -a, 2a, -3a, 5a, -8a, 13a, -21a, 34a
In questo modo (a-a = 0 ; 2a - a =a ; -3a + 2a = -a e così via)
Essendo il primo uguale a 34 vuol dire che:
34a =34 quindi a=1
Sostituendo a=1 trovo
2-3+5-8+13-21+34 = 9 - 21 + 34 =22
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Genius II
@stefanopescetto 👍👍 brilliant !!
@stefanopescetto cavolo !
La ricorsione lineare
* a(k + 1) = a(k) + a(k - 1)
innescata da (a(0) = A) & (a(1) = B) genera diverse successioni fra cui le due famosissime:
* (A, B) = (0, 1) dà quella dei Numeri di Fibonacci F(k) (Leonardo, ~1170-1242);
* (A, B) = (2, 1) dà quella dei Numeri di Lucas L(k) (Édouard, 1842–1891).
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Dalla definizione ricorsiva
* (a(0) = A) & (a(1) = B) & (a(k + 1) = a(k) + a(k - 1))
si ricava la forma chiusa
* a(k) = (A*L(k) - (A - 2*B)*F(k))/2
a cui si applicano le condizioni del problema
* a(0) = A = 34 = F(9)
* a(9) = (A*L(9) - (A - 2*B)*F(9))/2 = 0 ≡
≡ (34*76 - (34 - 2*B)*34)/2 = 0 ≡
≡ B = - 21
ottenendo la successione
* a(k) = 17*L(k) - 38*F(k)
i cui primi dieci termini sono
* {34, - 21, 13, - 8, 5, - 3, 2, - 1, 1, 0}
e totalizzano VENTIDUE.
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Genius I
spero nella risposta di qualcuno piu' avanti di me
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Livello 3
