Studia il fascio di parabole di equazione $(k-1) x^2+(1-3 k) x+(1+k) y+k-1=0$ e determina per quali valori di $k$ si ha la parabola:
a. con il vertice sulla retta di equazione $x=2$;
b. tangente alla retta $y=-x$;
c. passante per il punto di intersezione delle rette: $y=x+3$ e $3 x+y-11=0$.
Un problema che è da stamattina che ci provo e non riesco 😥
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Livello 1
1) Studiare
Il fascio di parabole
* Γ(k) ≡ (k - 1)*x^2 + (1 - 3*k)*x + (1 + k)*y + (k - 1) = 0
ha parametrici tutt'e quattro i coefficienti perciò prima del caso generale si esaminano i casi particolari.
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Per k = - 1
* Γ(- 1) ≡ - 2*(x - 1)^2 = 0 ≡ x = 1
la parabola doppiamente degenere, due parallele coincidenti.
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Per k = 1/3
* Γ(1/3) ≡ y = (x^2 + 1)/2
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Per k = 1
* Γ(1) ≡ y = x
la parabola degenere in una retta semplice, la bisettrice dei quadranti dispari.
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Con k = ± 1 si trova l'unico punto base (1, 1) in cui le Γ(k) hanno tangente comune.
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Per k != ± 1 si hanno tutte e sole le le parabole non degeneri
* Γ(k) ≡ (k - 1)*x^2 + (1 - 3*k)*x + (1 + k)*y + (k - 1) = 0 ≡
≡ y = ((1 - k)/(k + 1))*x^2 + ((3*k - 1)/(k + 1))*x + (1 - k)/(k + 1)
di apertura
* a(k) = (1 - k)/(k + 1)
e, dalle seguenti equivalenze,
* Γ(k) ≡ y = x^2 - ((3*k - 1)/(k - 1))*x + 1 ≡
≡ y = (x - (3*k - 1)/(2*(k - 1)))^2 - (5/4)*(k + 1)*(k - 3/5)/(k - 1)^2
si ricavano le coordinate dei vertici
* (x = (3*k - 1)/(2*(k - 1))) & (y = - (5/4)*(k + 1)*(k - 3/5)/(k - 1)^2) ≡
≡ (k = (1 - 2*x)/(3 - 2*x)) & (x != 3/2) & (y = 1 - x^2)
il cui luogo è una parabola né appartenente al fascio né simile a una di quelle (a(k) = - 1 è impossibile).
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2) Determinare
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2a) xV = 2 ≡ (3*k - 1)/(2*(k - 1)) = 2 ≡ k = 3
* Γ(3) ≡ y = (- x^2 + 4*x - 1)/2
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2b) Il sistema
* (y = - x) & ((k - 1)*x^2 + (1 - 3*k)*x + (1 + k)*y + (k - 1) = 0)
ha risolvente
* (k - 1)*x^2 + (1 - 3*k)*x - (1 + k)*x + (k - 1) = 0 ≡
≡ (k - 1)*x^2 - 4*k*x + (k - 1) = 0
con discriminante che, per la tangenza, deve annullarsi
* Δ(k) = 12*(k + 1)*(k - 1/3) = 0
fornendo, come visto nello studio dei casi particolari, per k = - 1
* Γ(- 1) ≡ - 2*(x - 1)^2 = 0 ≡ x = 1
la retta doppia e per k = 1/3 la parabola non degenere
* Γ(1/3) ≡ y = (x^2 + 1)/2
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2c) Ci pensi da te: intersechi le rette date, sostituisci (x, y) in Γ(k), ricavi k e Γ(k).
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