Un rettangolo è inscritto in una semicirconferenza di centro $O$ e diametro $\overline{A B}=2$. Calcola le misure dei lati, sapendo che la lunghezza della diagonale è $\sqrt{2}$.
$$
\left[\frac{2 \sqrt{3}}{3} ; \frac{\sqrt{6}}{3}\right]
$$
Un rettangolo è inscritto in una semicirconferenza di centro $O$ e diametro $\overline{A B}=2$. Calcola le misure dei lati, sapendo che la lunghezza della diagonale è $\sqrt{2}$.
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\left[\frac{2 \sqrt{3}}{3} ; \frac{\sqrt{6}}{3}\right]
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325
punti
Livello 1
8169
punti
Livello 6
Se il diametro è due si tratta della circonferenza goniometrica.
Il vertice nel primo quadrante è (cos(x), sin(x)).
I lati del rettangolo inscritto sono b = 2*cos(x) e h = sin(x).
Il vincolo sulla diagonale è √(b^2 + h^2) = √2 ≡
≡ √((2*cos(x))^2 + sin^2(x)) = √2 ≡
≡ x = 2*arctg(√(2 - √3))
Le espressioni di seno e coseno in funzione del doppio della tangente sono le formule di duplicazione applicate a
* sin(arctg(x)) = x/√(1 + x^2)
* cos(arctg(x)) = 1/√(1 + x^2)
cioè
* sin(2*arctg(x)) = 2*cos(arctg(x))*sin(arctg(x))
* cos(2*arctg(x)) = (1 - x^2)/(1 + x^2)
da cui, ordinatamente,
* sin(2*arctg(√(2 - √3))) = √(2/3)
* cos(2*arctg(√(2 - √3))) = 1/√3
* b = 2*cos(x) = 2/√3
* h = sin(x) = √2/√3
che è proprio il risultato atteso.
57171
punti
Genius I