Una spira circolare è immersa in un campo magnetico $\vec{B},$ a essa perpendicolare, il cui modulo varia nel tempo con legge del tipo $B(t)=A t e^{-k t}$ a) Determina i valori delle costanti $\mathrm{A}$ e $\mathrm{k}$, sapendo che all'istante $\mathrm{t}=10 \mathrm{s}$ il campo è pari a $5 \mathrm{T}$ e all'istante $\mathrm{t}=$ 20 s esso è pari a $2 \mathrm{T}$ b) Indipendentemente dai valori trovati in precedenza, studia la funzione $\mathrm{B}(\mathrm{t})$ per $\mathrm{A}=1$ e $\mathrm{k}=1,$ descrivendo in particolare dove la funzione è crescente e dove è decrescente. c) Spiega il fenomeno dell'induzione elettromagnetica e, utilizzando la legge di Lenz, determina il verso della corrente indotta nella spira al variare del tempo (rappresenta spira, campo magnetico e verso della corrente nelle varie fasi). d) Supponendo che la resistenza della spira sia di $100 \Omega$ e che il suo raggio sia $r=20 \mathrm{cm},$ scrivi l'espressione della corrente indotta in funzione di t e calcola la corrente indotta al tempo $\mathrm{t}=5 \mathrm{s}$
grazie in anticipo a chi mi aiuterà a risolvere anche solo un punto del problema
@monica ora è tardi. Se non te lo risolve qualcun altro stasera te lo risolvo io domattina
grazie mille veramente
2 Risposte
3
Per risolvere il punto a) è sufficiente imporre che il campo magnetico ai 2 istanti assuma i valori forniti.
$B(10)=A*10*e^{-10k}=5$
$B(20)=A*20*e^{-20k}=2$
Dividendo la prima per 5 e la seconda per 2 ottieni:
$2Ae^{-10k}=1$
$10Ae^{-20k}=1$
Quindi possiamo scrivere:
$2Ae^{-10k}=10Ae^{-20k}$
$e^{-10k}=5e^{-20k}$
$e^{10k}=5$
$10k=ln(5)$
$k=\frac{ln(5)}{10}$
Adesso sostituiamo $k$ in una delle due equazioni di partenza:
$B(10)=A*10*e^{-10\frac{ln(5)}{10}}=5$
$2Ae^{-ln(5)}=1$
$Ae^{ln(1/5)}=1/2$
$A/5=1/2$
$A=\frac{5}{2}$
punto b)
la funzione è $B(t)=te^{-t}$
Tale funzione passa per il punto $O(0,0)$ in cui interseca gli assi.
inoltre
$\lim_{t \to -\infty} B(t) = -\infty$ (se t è il tempo questo limite ha poco senso fisico)
$\lim_{t \to +\infty} B(t) = 0^+$
per studiarne crescenza/decrescenza è necessario calcolare la derivata prima di $B(t)$ rispetto a $t$. Per fare ciò usiamo la derivata del prodotto di funzioni
$B'(t)=1*e^{-t}+t(-e^{-t})=e^{-t}(1-t)$
per studiarne il segno si osserva che il termine $e^{-t}$ è sempre positivo per ogni $t$, quindi il segno è dato soltanto dal termine $(1-t)$.
$1-t>0$ per $t<1$,
quindi la funzione cresce per $t<1$, raggiunge un massimo di valore $\frac{1}{e}$ in $t=1$ e poi decresce pet $t>1$
punto c)
Il fenomeno dell'induzione elettromagnetica è alla base del funzionamento di tutti i motori elettrici, dei trasformatori e di molti sensori elettromagnetici, senza mezionare tutti i fenomeni d'onda che si verificano in alta frequenza. Il fenomeno si base sul concetto di "flusso di campo magnetico attraverso una superficie", ovvero una misura della "quantità di linee di campo magnetico che attraversano una superficie". Tale flusso $\phi$ , se costante non produce alcun effetto, ma se tale flusso risulta variabile nel tempo per qualche ragione (la superficie si muove oppure il campo magnetico varia nel tempo) allora è possibile calcolarne la derivata prima:
$\frac{d\phi(t)}{dt}$
che ha le dimensioni di una tensione, ovvero sono Volt.
se lungo la linea di appoggio della superficie è presente un conduttore (una spira), tale tensione indotta provoca un movimento di cariche nel conduttore e quindi una corrente indotta.
Lenz apportò una modifica al calcolo della tensione indotta, ponendo esplicitamente un "meno" davanti alla derivata e tale "meno" è fondamentale in quanto esprime il fatto che il sistema reagisce sempre in moda da cercare di opporsi alla causa che ha provocato la variazione. quindi alla fine la legge di Lenz si scrive:
$fem=-\frac{d\phi(t)}{dt}$
dove con $fem$ si indica forza elettromotrice, ovvero quella che finora ho chiamato tensione indotta.
@sebastiano grazie. nello studio di funzione ha senso andare a valutare la continuità della funzione?
@monica in generale si, in quanto come prima cosa in uno studio di funzione devi determinare il campo di esistenza e se trovi valori della variabile indipendente per i quali la funzione non esiste, quelli saranno punti di discontinuità e in genere asintoti verticali per la funzione stessa. in questo caso non ha molto senso, in quanto la funzione è prodotto della funzione $t$ continua per ogni t e della funzione $e^{-t}$ anch'essa continua per ogni t, quindi anche $B(t)$ è continua per ogni t. Questa è comunque un'osservazione che puoi fare all'inizio dello studio di funzione in questo caso.
@sebastiano quando lei ha calcolato il limite per t che tende a +infinito le viene come risultato 0+. questo vuol dire che esiste un asintoto t=0 ? perche dal grafico non mi sembra che ci siano asintoti
@Monica come ho scritto in un altro commento, la funzione ha asintoto orizzontale $y=0$. Come mai dici che dal grafico non ti sembra? mi pare chiaro che la funzione tenda a 0 per t tendente a +infinito e che quindi l'asse dei tempi sia asintoto orizzontale.
2
intanto i primi due problemi sono semplicemente matematici: basta sostituire.
t=10 e B=5 ottieni
5 = 10Ae^{-10k};2=20Ae^{-20k}(divido le eq. risp per 5 e per 2)
1 = 2Ae^{-10k};1=10Ae^{-20k}
2Ae^{-10k}=10Ae^{-20k}
e^{-10k}=5e^{-20k}
e^{10k}=5
10k =ln 5
k=(1/10)ln 5 che sostituisco ad una delle due, ad es . la prima ed ho
5 = 10Ae^{-10[(1/10)ln 5]}
10Ae^{-ln 5}=5
10Ae^{ln (1/5)}=5
10A* (1/5)=5
2A=5
A=5/2
b)
per vedere dove la fn è crescente e descrescente devi fare lo studio del segno della derivata della fn B(t)=t*e^{-t}
D(B(t))=e^{-t}-t*e^{-t}=(1-t)e^{-t}
quindi la derivata è positiva quando 1-t>0 cioè t<1,
perciò la funzione è crescente per t<1 assume un punto di massimo nel punto (1;1/e) e decresce per t>1.
Ho problemi con l'inserimento di files, per cui non posso mandarti i disegni, per gli altri problemi attendi qualcun'altro o che risolvo il problema tecnico.
